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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 6

Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .

Passo 1

Nesse exercício devemos descobrir se o produto vetorial ( a × b ) é ortogonal tanto à a quanto à b , mas o quê quer dizer um vetor ser ortogonal à outro? Para ser ortogonal o ângulo formado entre eles deve ser 90 ° , sabendo isso é correr pro abraço...

Temos a = 1 i + e t j + e - t k = 1 , e t , e - t b = 2 i + e t j - e - t k = 2 , e t , - e - t   , agora vamos fazer o produto vetorial:

a × b =   i j k 1 e t e - t 2 e t - e - t =

= i ∙ e t ∙ ( - e - t ) + j ∙ e - t ∙ 2 + k ∙ e t ∙ 1 - i ∙ e t ∙ e - t + j ∙ 1 ∙ ( - e - t ) + k ∙ e t ∙ 2 =

= - 1 i + 2 e - t j + e t k - 1 i + e - t j - 2 e t k =

= - 2 i + 3 e - t j - e t k

Passo 2

Agora vamos descobrir se o vetor a é ortogonal ao vetor a × b . Para isso façamos o produto escalar entre eles, porque sabemos que se o ângulo for de 90 ° o produto escalar será 0 . Para calcularmos a ∙ b precisamos lembrar da definição do produto escalar. Se a = ( a 1 ,   a 2 ,   a 3 ) e b = ( b 1 ,   b 2 ,   b 3 ) ; o produto escalar entra a e b é dado por:

a ∙ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a × b a cos ⁡ α

a × b ∙ a = - 2,3 e - t , - e t ∙ 1 , e t , e - t =

= ( - 2 ) ∙ 1 + 3 e - t ∙ e t + ( - e t ) ∙ e - t = 0

Passo 3

Temos que a × b = ( - 2 ) 2 + ( 3 e - t ) 2 + ( - e - t ) 2 = 4 + 10 e t 2 a = 1 2 + ( e t ) 2 + ( e - t ) 2 = 1 + 2 e t 2 ; sabemos que:

a × b ∙ a = 4 + 10 e t 2 ∙ 1 + 2 e t 2 cos ⁡ α 0 →

→ 4 + 10 e t 2 ∙ 1 + 2 e t 2 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Passo 4

Agora queremos descobrir se o vetor b também é ortogonal ao vetor a × b , para isso vamos usar os mesmos conceitos que usamos para descobrir se a era ortogonal.

a × b ∙ b = a × b b cos ⁡ α

a × b ∙ b = - 2,3 e - t , - e t ∙ 2 , e t , - e - t =

= ( - 2 ) ∙ 2 + 3 e - t ∙ e t + ( - e t ) ∙ ( - e - t ) = 0

Passo 5

Temos que a × b = ( - 2 ) 2 + ( 3 e - t ) 2 + ( - e - t ) 2 = 4 + 10 e t 2 b = 2 2 + ( e t ) 2 + ( - e - t ) 2 = 4 + 2 e t 2 ; sabemos que:

a × b ∙ b = 4 + 10 e t 2 ∙ 4 + 2 e t 2 cos ⁡ α 0 →

→ 4 + 10 e t 2 ∙ 4 + 2 e t 2 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Resposta

- 2 i + 3 e - t j - e t k

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(b) Sejam B 1 a base ortonormalizada de E pelo Processo de Gram-Schmidt e B 2 = ( i → , j → , k → ) , a base ortonormalizada de E pelo processo alternativo descrito na Observação 11-9. Prove que B 1 =
Sejam B = ( i → , j → , k → ) uma base ortonormal positiva e * uma operação interna em V 3 que satisfaz as propriedades u → * v → + w → = u → * v → + u → * w → u → + v → * w → = u → * w → + v → * w →
Resolva os sistemas:(a) x → ∧ i → - k → = j → x → + y → = i → + j →
Resolva os sistemas:(b) x → . 2 i → + 3 j → + 4 k → = 9 x → ∧ - i → + j → - k → = - 2 i → + 2 k →
(a) Prove que, se u → é unitário, então u → ∧ v → ∧ u → = v → - p r o j u → v → , qualquer que seja v → . O duplo produto u → ∧ v → ∧ u → é, portanto, o vetor q → mencionado em [9-9].