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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.4 - Ex. 50

Demonstre a parte 6 do Teorema 8, ou seja,

a xx (b xx c) = (a * c) b - (a * b) c

Passo 1

Vamos definir o nosso vetor a como sendo

a = (a_1 , a_2 , a_3)

Nosso vetor b como sendo

b = ( b_1 , b_2 , b_3 )

E nosso vetor c como sendo

c = ( c_1 , c_2 , c_3 )

Passo 2

Vamos fazer b xx c :

b xx c = |[[i,j,k],[b_1,b_2,b_3],[c_1,c_2,c_3]]| = |[[b_2,b_3],[c_2,c_3]]| i - |[[b_1,b_3],[c_1,c_3]]| j + |[[b_1,b_2],[c_1,c_2]]| k

b xx c = |[[i,j,k],[b_1,b_2,b_3],[c_1,c_2,c_3]]| = (b_2 c_3 - b_3 c_2) i - ( b_1 c_3 - b_3 c_1 ) j + ( b_1 c_2 - b_2 c_1 ) k

b xx c = (b_2 c_3 - b_3 c_2 , - b_1 c_3 + b_3 c_1 , b_1 c_2 - b_2 c_1)

Passo 3

Agora vamos fazer a xx (b xx c) :

a xx (b xx c) = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[b_2,c_3,-,b_3,c_2,-,b_1,c_3,+,b_3,c_1,b_1,c_2,-,b_2,c_1]]| = |[[a_2,a_3],[-,b_1,c_3,+,b_3,c_1,b_1,c_2,-,b_2,c_1]]| i - |[[a_1,a_3],[b_2,c_3,-,b_3,c_2,b_1,c_2,-,b_2,c_1]]| j + |[[a_1,a_2],[b_2,c_3,-,b_3,c_2,-,b_1,c_3,+,b_3,c_1]]| k

a xx (b xx c) = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[b_2,c_3,-,b_3,c_2,-,b_1,c_3,+,b_3,c_1,b_1,c_2,-,b_2,c_1]]| = (a_2 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (- b_1 c_3 + b_3 c_1)) i - ( a_1 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (b_2 c_3 - b_3 c_2) ) j + ( a_1 (- b_1 c_3 + b_3 c_1) - a_2 (b_2 c_3 - b_3 c_2) ) k

a xx (b xx c) = (a_2 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (- b_1 c_3 + b_3 c_1) , - ( a_1 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (b_2 c_3 - b_3 c_2) , a_1 (- b_1 c_3 + b_3 c_1) - a_2 (b_2 c_3 - b_3 c_2))

Passo 4

Agora vamos à (a * c) :

(a * c) = (a_1 , a_2 , a_3) * (c_1 , c_2 , c_3) = a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3

Multilicando isso pelo vetor b :

(a * c) b = a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3 (b_1 , b_2 , b_3) = (b_1 (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3) , b_2 (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3) , b_3 (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3))

Passo 5

E, por último, (a * b) :

(a * b) = (a_1 , a_2 , a_3) * (b_1 , b_2 , b_3) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

Multiplicando pelo vetor c :

(a * b) c = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 (c_1 , c_2 , c_3) = (c_1 (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) , c_2 (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) , c_3 (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3))

Passo 6

Vamos ver onde a gente chegou com isso tudo:

Sabemos que:

a xx (b xx c) = (a_2 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (- b_1 c_3 + b_3 c_1) , - ( a_1 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (b_2 c_3 - b_3 c_2) , a_1 (- b_1 c_3 + b_3 c_1) - a_2 (b_2 c_3 - b_3 c_2))

E

(a * c) b - (a * b) c = (b_1 (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3) , b_2 (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3) , b_3 (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3)) - (c_1 (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) , c_2 (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) , c_3 (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)) = (a_2 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (- b_1 c_3 + b_3 c_1) , - ( a_1 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (b_2 c_3 - b_3 c_2) , a_1 (- b_1 c_3 + b_3 c_1) - a_2 (b_2 c_3 - b_3 c_2))

Ou seja,

a xx (b xx c) = (a * c) b - (a * b) c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Defina a * b .a = 3 i + 2 j - k b = 4 i + 5 k
Defina a * b .a =- 2,3b =0,7 , 1,2
Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a i + j e i + k .
Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.) a =4 ,3 b =2 ,- 1
Defina a * b .a =6 , - 2,3b =2 , 5 , - 1