Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 16
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9.
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Nessa questão vamos demonstrar que:
Usando a definição formal de limite, que envolve e .
Essa definição nos diz que:
Se para todo número houver um número tal que se:
Então:
Primeira coisa que fazemos é achar um valor para apenas manipulando a inequação que tem o e depois comparando a inequação que tem o .
Depois mostramos que esse funciona, fazendo o contrário do que fizemos antes... a partir da inequação de , vamos chegar na de .
Passo 2
- Achando um valor para
Na nossa questão:
Então queremos achar um número tal que se
Então:
Pooo... sei que esse módulo ta assustando um bocado, mas a gente nem vai precisar mexer muito nele, ok?
Repara que se tirarmos os parênteses:
Colocando o em evidência (podemos tirar no módulo, já que é sempre positivo):
Ohhhhh... depois de todas essas manipulações se:
Então:
E já conseguimos comparar as duas inequações.
Isso sugere que deveríamos escolher:
Passo 3
- Mostrando que esse valor de funciona:
Dado , seja:
Se:
Substituindo o
Como restringimos que é maior que zero, então não precisamos da parte da esquerda:
Multiplicando por dos dois lados (para deixarmos só do outro lado):
Podemos botar o pra dentro do módulo:
Pra poder fazer aparecer aquela primeira inequação que envolve o , podemos chamar:
Substituindo:
Usando a definição, então temos que:
Passo 4
Pra montar o diagrama:
Primeiro plotamos a nossa , que é .
Depois marcamos: (que é o valor para o qual está tendendo) e (que é o valor par ao qual o limite está tendendo).
Marcamos dois pontinhos no eixo bem próximos do , um antes e um depois, que vão representar e .
Ligamos esse ponto até a reta da e refletimos no eixo , que aí teremos e
O diagrama fica assim:
Resposta
Demonstração