Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 87
Demonstre que se for um ponto de inflexão do gráfico de e existir em um intervalo aberto contendo , então . [Sugestão: Aplique o Teste da Primeira Derivda e o Teorema de Fermat à função .]
Passo 1
Fala meus queridos,
Nessa questão, queremos provar que para que uma função tenha um ponto de inflexão em e se a sua segunda derivada existir em um intervalo aberto que contêm , então , ou seja, a segunda derivada é zero.
Sabemos que a segunda derivada indica a direção da concavidade. Uma segunda derivada positiva dá uma concavidade para cima e uma segunda derivada negativa dá uma concavidade para baixo.
Passo 2
Por hipótese é diferenciável em um intervalo aberto contendo .
Como é um ponto de inflexão, a concavidade muda em , então muda de sinal em .
Como a segunda derivada é a derivada da primeira derivada, temos que a primeira derivada terá um mínimo ou máximo local em .
Assim, pelo Teste da Primeira Derivada, possui um mínimo ou máximo local em .
De acordo com o Teorema de Fermat, uma função qe possui m ponto de máximo ou mínimo local em e se a função for derivável em um intervalo que contenha , então a derivada dessa função é nula nesse ponto:
Dessa forma, se fizermos
Temos que possui ponto de máximo ou mínimo em e portanto,
Dessa forma, pelo Teorema de Fermat .
Resposta
Desenvolvimento nos Passos.