Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 11

Nos Exercícios de 1 a 16, encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por .

Passo 2

Igualando :

Para determinar se existe ou não um ponto de inflexão nestes pontos, precisamos verificar se muda de sinal.

Sendo assim, são pontos de inflexão.

Desenhando o gráfico da função e traçando as retas tangentes aos pontos de inflexão:

Resposta

Pontos de inflexão:

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x = ln ⁡ x x

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.f) g x = x 2 x 2 - 2

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.j) f x = x 4 - 2 x 3 + 2 x

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y = x 1 + x 2

Suponha que f^(' ') (x)0 em ]a , + oo[ e que existe x_0a tal que f^' (x_0)0 . Prove que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo