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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 11

Nos Exercícios de 1 a 16, encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

11 )   G x = 2 x 2 + 3  

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

G x = 2 x 2 + 3 = 2 . ( x 2 + 3 ) - 1

G ' x = 0 . ( x 2 + 3 ) - 1 + 2 . - 1.2 x . x 2 + 3 - 2 = - 4 x . ( x 2 + 3 ) - 2

G ' ' x = - 4 . x 2 + 3 - 2 + - 4 x . - 2.2 x . x 2 + 3 - 3 = - 4 x 2 + 3 2 + 16 x 2 x 2 + 3 3 = 16 x 2 - 4 x 2 + 3 x 2 + 3 3 = 1 2 ( x 2 - 1 ) x 2 + 3 3

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por G ' ' x = 0 .

Passo 2

Igualando G ' ' x = 0 :

12 ( x 2 - 1 ) x 2 + 3 3 = 0

x ' = 1                                             x ' ' = - 1

Para determinar se existe ou não um ponto de inflexão nestes pontos, precisamos verificar se G ' ' x muda de sinal.

Sendo assim, x = 1   e   x = - 1 são pontos de inflexão.

Desenhando o gráfico da função e traçando as retas tangentes aos pontos de inflexão:

Resposta

Pontos de inflexão: x = 1   e   x = - 1 .

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Suponha que f ' ' x0 em a ,+ ∞ e que existe x 0a tal que f ' x 00 . Prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞