Suponha que todas as funções sejam duas vezes deriváveis e que as segundas derivadas nunca sejam nulas.

(a) Se e forem funções positivas, crescentes e côncavas para cima em , mostre que a função produto é côncava para cima em .

(b) Mostre que a parte (a) permanece verdadeira mesmo que e sejam ambas decrescentes.

(c) Suponha que seja crescente e , decrescente. Mostre, dando três exemplos, que pode ser côncava para cima, côncava para baixo ou linear. Por que os argumentos usados nas partes (a) e (b) não podem ser usados neste caso?

(a) Como e são positivas, crescentes e côncavas para cima em com e nunca igual a , nós temos que

em . Assim, usando a regra do produto, teremos:

Assim, é côncava para cima em .

(b) No passo , se e são ambos decrescentes ao invés de crescentes, então

E

em , então nós ainda temos que

Assim:

Assim, é côncava para cima em da mesms forma que na letra (a).

(c) Supondo crescente e decrescente, com e positivos e côncavos para cima, então

e

assim

fazendo o argumento da letra (a) e(b) falharem.

Seja :

Veja alguns exemplos:

Exemplo :

Temos que então que

assim

e

Assim, é côncavo para cima.

Exemplo :

E

temos que então que

assim

e

Assim, é côncavo para baixo.

Exemplo :

temos que então que

assim é linear.