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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 45

Demonstre a fórmula 5 do Teorema 3.

d d t u t × v ( t ) = u ' t × v t + u t × v ' t

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar a seguinte derivada:

d d t u t × v ( t ) = u ' t × v t + u t × v ' t

Onde u e v são vetores.

Para isso, devemos fazer u e v sendo formados por escalares.:

u t = [ u 1 t ,   u 2 t ,   u 3 t ]

v t = [ v 1 t ,   v 2 t ,   v 3 t ]

Assim, basta fazermo o produto vetorial entre esses valores e aí vamos aplicar as derivadas em cada componente.

Mas aaaantes de fazer a demonstração é interessante obtermos os produtos vetoriais da fórmula 5 em suas formas vetoriais:

u t × v t = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3

u t × v t = u 2 v 3 - u 3 v 2 i + u 3 v 1 - u 1 v 3 j + u 1 v 2 - u 2 v 1 k

Analogamente temos

u ' t × v t = u ' 2 v 3 - u ' 3 v 2 i + u ' 3 v 1 - u ' 1 v 3 j + u ' 1 v 2 - u ' 2 v 1 k

u t × v ' t = u 2 v ' 3 - u 3 v ' 2 i + u 3 v ' 1 - u 1 v ' 3 j + u 1 v ' 2 - u 2 v ' 1 k

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Aplicando o Teorema 2, ou seja, derivando as componentes de produto vetorial dado, temos:

d d t u t × v t = d d t u 2 v 3 - u 3 v 2 i + d d t u 3 v 1 - u 1 v 3 j + d d t u 1 v 2 - u 2 v 1 k

Das propriedades usuais de derivadas para soma de funções escalares temos:

d d t u t × v t = [ d d t ( u 2 v 3 ) - d d t ( u 3 v 2 ) ] i + [ d d t ( u 3 v 1 ) - d d t ( u 1 v 3 ) ] j + [ d d t ( u 1 v 2 ) - d d t ( u 2 v 1 ) ] k

Passo 3

Agora desenvolvemos as derivadas que estão dentro dos parênteses.

d d t u t × v t = [ ( u 2 ' v 3 + u 2 v 3 ' ) - ( u 3 ' v 2 + u 3 v 2 ' ) ] i + [ ( u 3 ' v 1 + u 3 v 1 ' ) - ( u 1 ' v 3 + u 1 v 3 ' ) ] j + [ ( u 1 ' v 2 + u 1 v 2 ' ) - ( u 2 ' v 1 + u 2 v 1 ' ) ] k

Retirando os parênteses teremos:

d d t u t × v t = [ u 2 ' v 3 + u 2 v 3 ' - u 3 ' v 2 - u 3 v 2 ' ] i + [ u 3 ' v 1 + u 3 v 1 ' - u 1 ' v 3 - u 1 v 3 ' ] j + [ u 1 ' v 2 + u 1 v 2 ' - u 2 ' v 1 - u 2 v 1 ' ] k

Feito isso, podemos reagrupar os termos que estão dentro de colchetes:

d d t u t × v t = [ ( u 2 ' v 3 - u 3 ' v 2 ) + ( u 2 v 3 ' - u 3 v 2 ' ) ] i + [ ( u 3 ' v 1 - u 1 ' v 3 ) + ( u 3 v 1 ' - u 1 v 3 ' ) ] j + [ ( u 1 ' v 2 - u 2 ' v 1 ) + ( u 1 v 2 ' - u 2 v 1 ' ) ] k

Passo 4

Com base na Propriedade 6 ,de distributividade do produto de uma soma escalar por um vetor, podemos dividir o vetor obtido no passo anterior em dois vetores. Assim obtemos:

d d t u t × v t = u 2 ' v 3 - u 3 ' v 2 i + u 3 ' v 1 - u 1 ' v 3 j + u 1 ' v 2 - u 2 ' v 1 k +

u 2 v 3 ' - u 3 v 2 ' i + u 3 v 1 ' - u 1 v 3 ' j + u 1 v 2 ' - u 2 v 1 ' k

Agora, analisando bem as componentes dos dois vetores da soma acima, notamos que elas são exatamente as componentes dos produtos vetoriais expressos no final do Passo 1.

Ou seja, o vetor dentro do primeiro colchetes é igual a u ' t × v ( t ) , enquanto o vetor no segundo colchete é igual a u t × v ' ( t ) .

Portanto, se fizermos a substituição temos

d d t u t × v ( t ) = u ' t × v ( t ) + u t × v ' ( t )

Resposta

Demonstração

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33. Calcule a integral.int_0^1 (16 t^3 i - 9 t^2 j + 25 t^4 k) d t
Calcule a integral. ∫ e ti + 2 tj + ln ⁡ tk d t
Encontre r t se r ' t = ti + e t j + t e tk e r 0 = i + j + k .
Demonstre a fórmula 3 do Teorema 3. d d t f ( t ) u t = f ' t u t + f t u ' ( t )