Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 45
Demonstre a fórmula 5 do Teorema 3.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar a seguinte derivada:
Onde e são vetores.
Para isso, devemos fazer e sendo formados por escalares.:
Assim, basta fazermo o produto vetorial entre esses valores e aí vamos aplicar as derivadas em cada componente.
Mas aaaantes de fazer a demonstração é interessante obtermos os produtos vetoriais da fórmula 5 em suas formas vetoriais:
Analogamente temos
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Aplicando o Teorema 2, ou seja, derivando as componentes de produto vetorial dado, temos:
Das propriedades usuais de derivadas para soma de funções escalares temos:
Passo 3
Agora desenvolvemos as derivadas que estão dentro dos parênteses.
Retirando os parênteses teremos:
Feito isso, podemos reagrupar os termos que estão dentro de colchetes:
Passo 4
Com base na Propriedade 6 ,de distributividade do produto de uma soma escalar por um vetor, podemos dividir o vetor obtido no passo anterior em dois vetores. Assim obtemos:
Agora, analisando bem as componentes dos dois vetores da soma acima, notamos que elas são exatamente as componentes dos produtos vetoriais expressos no final do Passo 1.
Ou seja, o vetor dentro do primeiro colchetes é igual a , enquanto o vetor no segundo colchete é igual a .
Portanto, se fizermos a substituição temos
Resposta
Demonstração