Demonstre a fórmula 3 do Teorema 3.

d / dt [ f(t) u(t) ] = f'(t) u(t) + f(t) u'(t)

Passo 1

Falaee, tranquilinho?? Bom... queremos demonstrar a seguinte derivada:

d d t f t u t = f ' t u t + f t u ' t

Onde f é uma função escalar e u é uma função vetorial.

Para isso, vamos dizer que a função vetorial u é dada pelo seguinte vetor:

u t = [ u 1 t ,   u 2 t ,   u 3 t ]

Onde u 1 ,   u 2 e u 3 são escalares.

Com isso, aplicando as regras usuais do produto de uma função escalar por um vetor, temos que demonstrar a seguinte derivada:

d d t f ( t ) u t = d d t [ f ( t ) u 1 t ,   f t u 2 t ,   f ( t ) u 3 t ]

Assim, agora podemos aplicar a derivada em cada termo desses 😉

Ah, a gente também vai utilizar a regra do produto para funções escalares (aprendemos lá no cálculo 1 hehe):

u v = u ' v + u v '

Passo 2

Aplicando a derivada em cada termo, temos:

d d t f ( t ) u t = d d t f t u 1 t , d d t f t u 2 t , d d t f t u 3 t

Agora, dentro das chaves, aplicamos a regra usual de derivação do produto de funções escalares, que é dada por:

d d t f ( t ) u t = { f ' t   u 1 t   + f t   u 1 ' t   , f ' t   u 2 t   + f t   u 2 ' t   ,   f ' t   u 3 t   + f t   u 3 ' t   }

Passo 3

Aplicando as propriedade de soma de vetores, podemos alterar a soma dentro das chaves, dividindo-a em uma soma de dois vetores:

d d t f ( t ) u t = { f ' t u 1 t ,   f ' t u 2 t ,   f ' t u 3 t + [ f t u 1 ' t ,   f t u 2 ' t ,   f t u 3 ' t ] }

Por fim, colocando f ' ( t ) e f ( t ) em evidência, temos:

d d t f ( t ) u t = f ' t u 1 t ,   u 2 t ,   u 3 t + f ( t ) [ u 1 ' t ,   u 2 ' t ,   u 3 ' t ]

d d t f ( t ) u t = f ' t u t + f t u ' ( t )

Resposta

Demonstração

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