Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 44

Falaee, tranquilinho?? Bom... queremos demonstrar a seguinte derivada:

Onde é uma função escalar e é uma função vetorial.

Para isso, vamos dizer que a função vetorial é dada pelo seguinte vetor:

Onde e são escalares.

Com isso, aplicando as regras usuais do produto de uma função escalar por um vetor, temos que demonstrar a seguinte derivada:

Assim, agora podemos aplicar a derivada em cada termo desses 😉

Ah, a gente também vai utilizar a regra do produto para funções escalares (aprendemos lá no cálculo 1 hehe):

Aplicando a derivada em cada termo, temos:

Agora, dentro das chaves, aplicamos a regra usual de derivação do produto de funções escalares, que é dada por:

Aplicando as propriedade de soma de vetores, podemos alterar a soma dentro das chaves, dividindo-a em uma soma de dois vetores:

Por fim, colocando e em evidência, temos:

Demonstração