Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 44
Demonstre a fórmula 3 do Teorema 3.
Passo 1
Falaee, tranquilinho?? Bom... queremos demonstrar a seguinte derivada:
Onde é uma função escalar e é uma função vetorial.
Para isso, vamos dizer que a função vetorial é dada pelo seguinte vetor:
Onde e são escalares.
Com isso, aplicando as regras usuais do produto de uma função escalar por um vetor, temos que demonstrar a seguinte derivada:
Assim, agora podemos aplicar a derivada em cada termo desses 😉
Ah, a gente também vai utilizar a regra do produto para funções escalares (aprendemos lá no cálculo 1 hehe):
Passo 2
Aplicando a derivada em cada termo, temos:
Agora, dentro das chaves, aplicamos a regra usual de derivação do produto de funções escalares, que é dada por:
Passo 3
Aplicando as propriedade de soma de vetores, podemos alterar a soma dentro das chaves, dividindo-a em uma soma de dois vetores:
Por fim, colocando e em evidência, temos:
Resposta
Demonstração