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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.2 - Ex. 42

Encontre r t se r ' t = t   i + e t j + t e t   k e r 0 = i + j + k .

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Temos então que:

r ' t = t   i + e t j + t e t   k

E que:

r 0 = i + j + k

E queremos encontrar qual a equação de:

r t

A função vetorial r ( t ) é primitiva da função r ' ( t ) . Assim, temos

r t = ∫ r ' t d t

Então deveremos resolver essa integral.

Passo 2

Temos então nossa integral a ser resolvida:

r t = ∫ ( t   i + e t j + t e t   k   ) d t

Separando a integral por termos obtemos:

r t = ∫ t   d t i + ∫ e t d t j + ( ∫ t e t   d t )   k

OBS: A terceira integral pode ser resolvida por partes tomando-se u = t e d v = e t d t .

∫ t e t k ^ d t = t e t - ∫ e t d t k ^

Voltando a resolução das outras integrais, temos:

∫ t î d t = t 2 2 î

E

∫ e t j ^ d t = e t

Juntando tudo no nosso vetor:

r ( t ) = t 2 2 i + e t j + ( t e t - e t ) k + C

OBS: C é um vetor contante

Passo 3

No passo anterior obtemos uma forma geral para r ( t ) dentro da qual existe um vetor C constante desconhecido. Contudo, foi dada uma outra informação no enunciado:

r 0 = i + j + k

Com essa informação poderemos obter o valor de C . Da equação de r ( t ) obtida no Passo 1 , temos:

r 0 = 0 2 2 i + e 0 j + ( 0 e 0 - e 0 ) k + C

r 0 = j - k + C

Igualando esse resultado à informação dada no enunciado obtemos

j - k + C =   i + j + k

C =   i + 2 k

Passo 4

Substituindo o valor de C obtido no Passo 2 , dentro da equação de r ( t ) , obtemos:

r t = t 2 2 i + e t j + t e t - e t k + i + 2 k

r t = t 2 + 2 2 i + e t j + ( t e t - e t + 2 ) k

Resposta

r t = t 2 + 2 2 i + e t j + ( t e t - e t + 2 ) k

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