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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 33

33. Calcule a integral.

int_0^1 (16 t^3 i - 9 t^2 j + 25 t^4 k) d t

Passo 1

Ele nos pede para integrar o seguinte:

I = int_0^1 (16 t^3 i - 9 t^2 j + 25 t^4 k) d t

Para integrarmos uma função vetorial, vamos integrar componente a componente. Logo,

I = (int_0^1 16 t^3 d t) i - (int_0^1 9 t^2 d t) j + (int_0^1 25 t^4 d t) k

Tirando as contantes da integral:

I = (16 int_0^1 t^3 d t) i - (9 int_0^1 t^2 d t) j + (25 int_0^1 t^4 d t) k

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 2

Integrando, temos:

I = 16 [(t^4)/(4)]_0^1 i - 9 [(t^3)/(3)]_0^1 j + 25 [(t^5)/(5)]_0^1 k

Fazendo as contas:

I = 4 ( 1^4 - 0^4 ) i - 3 [1^3 - 0^3]_0^1 j + 5 [1^5 - 0^5]_0^1 k

Portanto,

I = 4 i - 3 j + 5 k

Resposta

int_0^1 (16 t^3 i - 9 t^2 j + 25 t^4 k) d t = 4 i - 3 j + 5 k

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