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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 17

Use a transformada de Laplace e (7) para resolver

y ' ' + 2 y ' + 2 y = cos ⁡ t . δ ( t - 3 π )

Sujeita a y 0 = 1 e y ' 0 = - 1

Passo 1

Oieeeee

Aqui vamos usar a equação (7):

∫ 0 ∞ f t δ t - t 0 d t = f ( t 0 )

E a transformada de Laplace para resolver:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = cos ⁡ t . δ ( t - 3 π )

Sujeita a y 0 = 1 e y ' 0 = - 1

Vamos lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada de Laplace da equação:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = cos ⁡ t . δ ( t - 3 π )

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) + 2 s . Y s - y 0 + 2 Y s = cos ⁡ 3 π . e - 3 π s

Sabemos que y 0 = 1 e y ' 0 = - 1

s 2 . Y s - s . 1 + 1 + 2 s . Y s - 1 + 2 Y s = - e - 3 π s

Y s . s 2 + 2 s + 2 = - e - 3 π s + s + 1

Então:

Y s = - e - 3 π s + s + 1 s 2 + 2 s + 2

Y s = - e - 3 π s s 2 + 2 s + 1 + 1 + s + 1 s 2 + 2 s + 1 + 1

Y s = - e - 3 π s s + 1 2 + 1 + s + 1 s + 1 2 + 1

Agora vamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = - e - 3 π s s + 1 2 + 1 + s + 1 s + 1 2 + 1

O que nos dá:

y t = e - t - 3 π s e n t u t - 3 π + e - t c o s ⁡ ( t )

E acabamosssss

Resposta

y t = e - t - 3 π s e n t u t - 3 π + e - t c o s ⁡ ( t )

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Se δ ' ( t - t 0 ) é a derivada de função delta de Dirac, então sabemos que L δ ' t - t 0 = s . e - s t 0 , t 0 ≥ 0 . Use esse resultado para resolver y ' + 5 y = δ ' ( t ) sujeita a y 0 = 0
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