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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 84b

Ao derivar x^2 - y^2 = 1^() implicitamente, mostre que (d^2 y)/(d^2 x) = - (1)/(y^3^()) .

Passo 1

Primeiro derivamos a expressão (d y)/(d x)^() = (x)/(y)^() , para obter a segunda derivada. Assim:

(d)/(d x)^() ((x)/(y)^()) =

Passo 2

Podemos aplicar a regra do quociente, contudo para que nossa conta fique mais simples, invertemos a fração da seguinte maneira:

(x)/(y)^() = x * y^(- 1)

Substituindo na expressão para a derivada termos:

(d)/(d x)^() (x * y^(- 1)) = (d^2 y)/(d^2 x)

Passo 3

No passo anterior iremos aplicar a regra da multiplicação. Assim:

(d^2 y)/(d^2 x) = (d)/(d x)^() (x) * y^(- 1) + x (d)/(d x) (y^(- 1))^()

No segundo termo, teremos uma regra da cadeia junto a derivada implícita. Logo:

(d^2 y)/(d^2 x) = y^(- 1) - x y^(- 2) (d y)/(d x)^() -> (d^2 y)/(d^2 x) = (1)/(y) - (x)/(y^2) (d y)/(d x)^()

Passo 4

Sabemos que:

x^2 - y^2 = 1^() e x^2 = 1 + y^2^()

Além de:

(d y)/(d x)^() = (x)/(y)^() .

Substituindo esses termos na expressão da segunda derivada temos que:

(d^2 y)/(d^2 x) = (1)/(y) - (x)/(y^2) (x)/(y) -> (d^2 y)/(d^2 x) = (1)/(y) - (x^2)/(y^3)^() -> (d^2 y)/(d^2 x) = (1)/(y) - (x^2)/(y^3) ->^() (d^2 y)/(d^2 x) = (1)/(y) - (1 + y^2)/(y^3)^()^()

(d^2 y)/(d^2 x) = (1)/(y) - (1)/(y^3) - (y^2)/(y^3) ->^() (d^2 y)/(d^2 x) = (1)/(y) - (1)/(y^3) - (1)/(y^())^()

Resposta

Simplificando as frações semelhantes, no qual (1)/(y) - (1)/(y^()) = 0 , teremos como resultado:

(d^2 y)/(d^2 x) = - (1)/(y^3)^()

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