Ao derivar x^2 - y^2 = 1 implicitamente, mostre que (d^2y)/(d^2x) = -1/y^3 .

Passo 1

Primeiro derivamos a expressão d y d x = x y , para obter a segunda derivada. Assim:

d d x x y =

Passo 2

Podemos aplicar a regra do quociente, contudo para que nossa conta fique mais simples, invertemos a fração da seguinte maneira:

x y = x ⋅ y - 1

Substituindo na expressão para a derivada termos:

d d x x ⋅ y - 1 = d 2 y d 2 x

Passo 3

No passo anterior iremos aplicar a regra da multiplicação. Assim:

d 2 y d 2 x = d d x x ⋅ y - 1 + x d d x y - 1

No segundo termo, teremos uma regra da cadeia junto a derivada implícita. Logo:

d 2 y d 2 x = y - 1 - x y - 2 d y d x → d 2 y d 2 x = 1 y - x y 2 d y d x

Passo 4

Sabemos que:

x 2 - y 2 = 1 e x 2 = 1 + y 2

Além de:

d y d x = x y .

Substituindo esses termos na expressão da segunda derivada temos que:

d 2 y d 2 x = 1 y - x y 2 x y → d 2 y d 2 x = 1 y - x 2 y 3 → d 2 y d 2 x = 1 y - x 2 y 3 → d 2 y d 2 x = 1 y - 1 + y 2 y 3

d 2 y d 2 x = 1 y - 1 y 3 - y 2 y 3 → d 2 y d 2 x = 1 y - 1 y 3 - 1 y

Resposta

Simplificando as frações semelhantes, no qual 1 y - 1 y = 0 , teremos como resultado:

d 2 y d 2 x = - 1 y 3

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