Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 47
Normal que cruza: Em que outro ponto a reta normal à curva em cruza a curva em outro ponto?
Passo 1
Questões de derivação implícita parecem ser difíceis, mas no final são tão simples quanto quaisquer outras questões de derivadas! Vamos destrinchar trecho por trecho desta questão.
Esta questão nos pede para determinar em que outro ponto uma reta normal ao ponto cruza a nossa curva . Isto nada mais é que resolver um sistema de equação da nossa curva e da nossa reta .
Para obtermos a equação da reta normal a curva, precisamos determinar o coeficiente angular de uma reta tangente a curva antes. Somente a partir deste coeficiente, podemos determinar o coeficiente da reta normal utilizando a seguinte relação
Agora, como obteremos o coeficiente angular da reta tangente? Para isto, usaremos o nosso conhecimento de derivadas, e em especial, derivação implícita. A derivada de uma função nos dá o coeficiente angular de uma reta tangente a curva. Consequentemente, se substituirmos as coordenadas do ponto , obteremos o coeficiente angular da reta tangente a curva neste ponto.
Sendo assim, vamos a nossa questão.
Passo 2
Vamos começar por derivar a nossa função implicitamente. Sendo assim, temos:
Passo 3
Vamos começar por determinar o coeficiente angular da reta tangente. Desta forma, substituindo e na função anterior, temos:
Passo 4
Agora que obtemos o coeficiente angular da reta tangente, para obter o da reta normal, basta utilizar seguinte relação:
Passo 5
Determinando a equação da reta normal, temos:
Passo 6
Agora temos todas as equações necessárias. Sendo assim, para descobrir os pontos em que a reta normal intercepta a nossa curva , basta resolver o seguinte sistema:
Sendo assim, temos:
Resolvendo esta equação, obtemos:
O ponto de coordenada corresponde ao ponto . O outro ponto que buscamos é o de coordenada . Substituindo na equação da reta normal, temos:
Sendo assim, chegamos ao ponto .
Resposta
O outro ponto é o de coordenadas .