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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 42

Normais paralelas a uma reta: Determine as normais à curva x y + 2 x - y = 0 que sejam paralelas à reta 2 x + y = 0 .

Passo 1

Precisamos determinar uma ou mais retas normais a uma curva que são paralelas a uma outra reta. Se duas retas são paralelas, temos que o coeficiente angular de ambas são iguais entre si. Desta forma, já começamos a questão com o coeficiente angular da nossa reta normal ( m n ) . A partir deste valor, podemos determinar o coeficiente angular da reta tangente ( m t ) a partir da seguinte relação:

m t ⋅ m n = - 1

Após obtermos o coeficiente da reta tangente, podemos usar este valor e relacionar a derivada da função para descobrir quais pontos satisfazem o nosso problema.

Sendo assim, vamos a nossa questão.

Passo 2

Vamos começar por determinar o coeficiente da reta normal a nossa curva. Seja dado a seguinte reta:

2 x + y = 0

y = - 2 x

Cujo coeficiente angular é m = - 2 , como esta reta é paralela a reta normal, temos que:

m n = - 2

Passo 3

Agora que obtivemos o coeficiente angular das retas normais, vamos determinar o da reta tangente. Desta forma, temos:

m t ⋅ m n = - 1

m t = - 1 m n

m t = - 1 - 2 = 1 2

Passo 4

Como m t = y ' = 1 / 2 , precisamos derivar a nossa função implicitamente. Portanto, temos:

x y + 2 x - y ' = 0 '

y + x ⋅ y ' + 2 - y ' = 0

y ' x - 1 = - 2 - y

y ' = 2 + y 1 - x

Logo,

2 + y 1 - x = 1 2

x = - 3 - 2 y

Passo 5

Para descobrirmos os pontos, basta substituir x = - 3 - 2 y na equação da nossa curva e assim descobrir os valores de y que resolvem a equação. Logo, temos:

- 3 - 2 y y + 2 - 3 - 2 y - y = 0

- 3 y - 2 y 2 - 6 - 4 y - y = 0

2 y 2 + 8 y + 6 = 0

y 2 + 4 y + 3 = 0

Logo,

y 1 = - 1

y 2 = - 3

Passo 6

Para descobrirmos os pontos, basta substituir y 1 = - 1 e y 2 = - 3 na equação x = - 3 - 2 y e assim descobriremos as coordenadas x dos nossos pontos. Sendo assim, temos:

x 1 = - 3 - 2 - 1 = - 1

x 2 = - 3 - 2 - 3 = 3

Portanto, os pontos são ( - 1 , - 1 ) e ( 3 , - 3 ) .

Passo 7

Para finalizarmos a questão, só nos basta substituir os dados na equação da reta. Portanto, as equações das retas normais a curva e paralelas a 2 x + y = 0 são:

y + 1 = - 2 ( x + 1 )

y = - 2 x - 3

E

y + 3 = - 2 ( x - 3 )

y = - 2 x + 3

Resposta

As retas são:

y = - 2 x - 3

y = - 2 x + 3

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