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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 30

Nos Exercícios 27-32, determine d p // d q .

30. p = (tg q)/(1 + tg q)

Passo 1

(d p)/(d q) = (d)/(d q) ((tg q)/(1 + tg q))

Vamos usar a regra do quociente para conseguir derivar isso ai:

(d)/(d q) ((u)/(v)) = (v (d u)/(d q) - u (d v)/(d q))/(v^2)

Onde u = tg q e v = 1 + tg q . A função vai ficar:

(d p)/(d q) = ((1 + tg q) (d)/(d q) (t g q) - (tg q) (d)/(d q) (1 + tg q))/((1 + tg q)^2)

A derivada de (tg q) é igual a (sec^2 q)

Já a derivada de (1 + tg q) é um poquinho mais chatinha, temos que usar a regra da soma:

(d)/(d q) (1 + tg q) = (d)/(d q) (1) + (d)/(d q) (tg q)

(d)/(d q) (1 + tg q) = (0) + (sec^2 q) = sec^2 q

Então a função vai ficar assim:

(d p)/(d q) = ((1 + tg q) (sec^2 q) - (tg q) (sec^2 q))/((1 + tg q)^2)

Multiplicando os termos, vamo ter:

(d p)/(d q) = (sec^2 q + tg q sec^2 q - tg q sec^2 q)/((1 + tg q)^2)

(d p)/(d q) = (sec^2 q)/((1 + tg q)^2)

Resposta

(d p)/(d q) = (sec^2 q)/((1 + tg q)^2)

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