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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4b

Derive.

y = e^x cos 2 x

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = e^x

e

g (x) = cos 2 x

(e^x cos 2 x)^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (e^x)^' * (cos 2 x) + (cos 2 x)^' * (e^x)

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ' ( x )

(cos (x))^' = - sen (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Para calculcar f^' (x) vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

f ' ( x ) = (e^x)^' = e^x * (x)^' = e^x * (x^(1 - 1)) = e^x * (x^0) = e^x * 1 = e^x

Com g ' ( x ) usamos a regra da função trigonométrica e a do polinômio:

g^' (x) = (cos 2 x)^' = - sen (2 x) * (2 x)^' = - sen (2 x) * (2 x^(1 - 1)) = - sen (2 x) * (2 x^0) = - sen (2 x) * (2 * 1) = - 2 sen (2 x)

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y^' = (e^x cos 2 x)^' = (e^x)^' * (cos 2 x) + (cos 2 x)^' * (e^x) = e^x * (cos 2 x) + (- 2 sen (2 x)) * (e^x) = e^x cos 2 x - 2 e^x sen 2 x

Resposta

y ' = e^x cos 2 x - 2 e^x sen 2 x

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Determine a derivada.y = sqrt(x + e^x)
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Determine a derivada.x = ln (t^2 + 3 t + 9)