Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4d

Derive.

y = e^(- 2 t) sen 3 t

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

(f (t) g (t))^' = f ' ( t ) g (t) + g ' (t) f (t)

Temos que:

f (t) = e^(- 2 t)

e

g (t) = sen 3 t

(e^(- 2 t) sen 3 t)^' = f ' ( t ) g (t) + g ' (t) f (t) = (e^(- 2 t))^' * (sen 3 t) + (sen 3 t)^' * (e^(- 2 t))

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

(e^(f (t)))^' = e^(f (t)) * f ' ( t )

(sen (t))^' = cos (t)

(t^n)^' = n t^(n - 1)

y^' = f^' (g (t)) * g ' (t)

Passo 3

Para calculcar f^' (t) vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

f ' ( t ) = (e^(- 2 t))^' = e^(- 2 t) * (- 2 t)^' = e^(- 2 t) * (- 2 t^(1 - 1)) = e^(- 2 t) * (- 2 t^0) = e^(- 2 t) * (- 2 * 1) = - 2 e^(- 2 t)

Com g ' ( t ) usamos a regra da função trigonométrica:

g^' (t) = (sen 3 t)^' = cos 3 t * (3 t)^' = cos 3 t * 3 t^(1 - 1) = cos 3 t * 3 t^0 = cos 3 t * 3 * 1 = 3 cos 3 t

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y^' = (e^(- 2 t) sen 3 t)^' = f ' ( t ) g (t) + g ' (t) f (t) = (e^(- 2 t))^' * (sen 3 t) + (sen 3 t)^' * (e^(- 2 t)) = - 2 e^(- 2 t) * (sen 3 t) + 3 cos 3 t * (e^(- 2 t)) = e^(- 2 t) (- 2 sen 3 t + 3 cos 3 t)

Resposta

y ' = e^(- 2 t) (- 2 sen 3 t + 3 cos 3 t)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada. g t = 2 s e n 3 t
Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada. f t = 4 c o st 2
11. Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada. G x = c o t g 2 x
Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada. g r = r+ 1 r
14. Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada. g x = 2 x - 3 2 ⋅ x + 4 3