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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4d

Derive.

y = e^(- 2 t) sen 3 t

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

(f (t) g (t))^' = f ' ( t ) g (t) + g ' (t) f (t)

Temos que:

f (t) = e^(- 2 t)

e

g (t) = sen 3 t

(e^(- 2 t) sen 3 t)^' = f ' ( t ) g (t) + g ' (t) f (t) = (e^(- 2 t))^' * (sen 3 t) + (sen 3 t)^' * (e^(- 2 t))

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

(e^(f (t)))^' = e^(f (t)) * f ' ( t )

(sen (t))^' = cos (t)

(t^n)^' = n t^(n - 1)

y^' = f^' (g (t)) * g ' (t)

Passo 3

Para calculcar f^' (t) vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

f ' ( t ) = (e^(- 2 t))^' = e^(- 2 t) * (- 2 t)^' = e^(- 2 t) * (- 2 t^(1 - 1)) = e^(- 2 t) * (- 2 t^0) = e^(- 2 t) * (- 2 * 1) = - 2 e^(- 2 t)

Com g ' ( t ) usamos a regra da função trigonométrica:

g^' (t) = (sen 3 t)^' = cos 3 t * (3 t)^' = cos 3 t * 3 t^(1 - 1) = cos 3 t * 3 t^0 = cos 3 t * 3 * 1 = 3 cos 3 t

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y^' = (e^(- 2 t) sen 3 t)^' = f ' ( t ) g (t) + g ' (t) f (t) = (e^(- 2 t))^' * (sen 3 t) + (sen 3 t)^' * (e^(- 2 t)) = - 2 e^(- 2 t) * (sen 3 t) + 3 cos 3 t * (e^(- 2 t)) = e^(- 2 t) (- 2 sen 3 t + 3 cos 3 t)

Resposta

y ' = e^(- 2 t) (- 2 sen 3 t + 3 cos 3 t)

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Calcule a derivada segunda.y = (x^2)/(x^2 + x + 1)
Calcule a derivada segunda.y = (e^x)/(x + 1)
Derive.f (x) = (cos x)/(sen^2 x)
Calcule a derivada segunda.y = (x)/(x^2 + 1)
Derive.y = sqrt(x^2 + e^(sqrt(x)))