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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 1g

Determine a derivada.

x = e^(sen t)

Passo 1

Vamos analisar a função, temos uma função trigonométrica em uma função exponencial, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

x^' = (d x)/(d t) = (d x)/(d u) * (d u)/(d t)

Onde u = g (t) .

Passo 2

Temos que g (t) é a função mais de dentro e x = f (t) a função mais de fora:

u = g (t) = sen t

Assim:

x = f (t) = e^u

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função exponencial e da função trigonométrica, vamos dá uma olhada nelas:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(sen (x))^' = cos (x)

Agora é só aplicar, vamos lá?

x^' = (d x)/(d t) = (d x)/(d u) * (d u)/(d t) = (d)/(d u) (e^u) * (d)/(d t) (sen t) = e^u . cos t = e^u . u^(1 - 1) * cos t = e^u . u^0 * cos t = e^u . 1 * cos t = e^u cos t

Passo 4

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

x^' = e^u cos t = e^(sen t) cos t

Resposta

x ' = e^(sen t) cos t

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