Derive:

10) y = sen(theta) \* cos(theta)

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

f x = sen ⁡ θ . cos ⁡ θ

E pede pra a gente derivar! Para isso vamos usar a regra do produto:

f ' x = g x h x ' = g x h ' x + h x g ' ( x )

Podemos dizer que:

g θ = sin ⁡ θ

h θ = cos ⁡ θ

Bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Antes de substituirmos na regra do produto, vamos calcular as derivadas de g ' ( x ) e f ' ( x ) separadamente:

g θ = sin ⁡ θ

h θ = cos ⁡ θ

Aqui temos duas funções trigonométricas, mas não se preocupe, as duas são tabeladas! Temos que:

g ' θ = cos ⁡ θ

h ' θ = - sin ⁡ θ

Agora substituímos na regra do produto:

f ' θ = g θ h ' θ + h θ g ' ( θ )

f ' θ = sin ⁡ θ - sin ⁡ θ + cos ⁡ θ ( cos ⁡ θ )

Arrumando:

f ' θ = - sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Assim já está certo! Mas a gente pode simplificar ainda mais, se liga nessa identidade trigonométrica:

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡   x - sin 2 ⁡ x

Então:

f ' θ = cos ⁡ 2 x

Prontinho!

Resposta

f ' θ = cos ⁡ 2 x

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