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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 12

Derive:

12) y = (cos x)/(1 - s e n x)

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

y = (cos x)/(1 - s e n x)

E pede pra a gente derivar! Para isso vamos usar a regra do produto:

f^' (x) = ((g (x))/(h (x)))^' = (g ' (x) h (x) - h ' (x) g ( x ))/(h (x)^2)

Podemos dizer que:

g (x) = cos x

h (x) = 1 - sin x

Bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Antes de substituirmos na regra do quociente, vamos calcular as derivadas de g^' ( x ) e f^' ( x ) separadamente:

g (x) = cos x

h (x) = 1 - sin x

Aqui temos duas funções trigonométricas, mas não se preocupe, as duas são tabeladas! Temos que:

(d cos x)/(d x) = - sin x

(d sin x)/(d x) = cos x

Então:

g^' (x) = - sin x

h^' (x) = - cos x

Agora vamos substituir na regra do quociente:

f^' (x) = ((g (x))/(h (x)))^' = (g ' (x) h (x) - h ' (x) g ( x ))/(h (x)^2)

f^' (x) = ((1 - sin x) (- sin x) - cos x (- cos x))/((1 - sin x)^2)

f^' (x) = (sin^2 x - sin x + cos^2 x)/((1 - sin x)^2)

Temos que:

cos^2 x + sin^2 x = 1

Portanto:

f^' (x) = (- sin x + 1)/((1 - sin x)^2) = (1 - sin x)/((1 - sin x)^2)

f^' (x) = (1)/(1 - sin x)

Prontinho!

Resposta

f^' (x) = (1)/(1 - sin x)

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(b) Use as Fórmulas (3) e (4) para obter (7).
Seja f x = cos ⁡ x . Encontre todos os inteiros positivos n com os quais f n x = s e nx .
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = (1)/(s e n x cos x)
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = t g x
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.