Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 20
Demonstre, pela definição de derivada, que se então
Passo 1
Fala aí! como vai?
O enunciado pede que usemos a definição de derivada para mostrar que
Lembra como fazemos isso?
Relembrando a definição de derivada de uma função:
Usando que temos que
Vamos precisar também do limite fundamental:
Veja só!
Passo 2
Para calcular o limite, devemos primeiro abrir .
Assim,
Colocando em evidência onde for possivel, vamos obter
Note que o limite é tomado na variável então podemos tirar termos que só dependem de do limite.
Separando os limites pela regra da soma:
Para calcular o primeiro limite, vamos multiplicar em cima e em baixo por
Como , o limite fica
Assim podemos reescrever o limite como
Separando os limites
O primeiro é o limite fundamental e será igual a . Já o segundo se anulará, de modo que
logo
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Assim, voltando para a equação que nos vais dar
No passo anterior vimos que e , ou seja
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
Demonstração.