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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 71

Desenhe as retas e seções cônicas nos Exercícios 65-74.

r = 1 1 - sen ⁡ θ

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será usar as transformações de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, para encontrar a equação cartesiana da equação polar dada. Para isso podemos fazer uso das seguintes relações:

r 2 = x 2 + y 2 ,   x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Por fim, com auxílio de software, podemos traçar o esboço da equação cartesiana encontrada.

Bora lá?

Passo 2

Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação por 1 - sen ⁡ θ :

r ( 1 - sen ⁡ θ ) = 1

r - r sen ⁡ θ = 1

Usando as relações citadas no passo 1, temos:

x 2 + y ² - y = 1

x 2 + y ² = 1 + y

Elevando ambos os lados ao quadrado:

x 2 + y 2 = ( 1 + y ) 2

Usando a fatoração do produto notável, temos:

x 2 + y 2 = 1 + 2 y + y 2

x 2 - 1 = 2 y

y = x 2 2 - 1 2

Encontramos assim, nossa equação em coordenadas cartesianas e ela representa uma parábola.

Passo 3

Agora, traçando o gráfico da equação, com auxílio de um software, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

y = x 2 2 - 1 2 .

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