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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Questões para guiar sua revisão - Ex. 7

Qual é a função de comprimento de arco para uma curva parametrizada suave? Qual é a diferencial de comprimento de arco?

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja uma curva parametrizada x   =   f ( t ) e y   =   g ( t ) para a ≤ t ≤ b , temos então que o comprimento de uma curva é dado por:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 = ∫ a b f ' ( t ) 2 + g ' ( t ) 2 d t

O comprimento do arco de curvas paramétricas é um ponto de partida natural para aprender sobre integrais de linha, um conceito central no cálculo de múltiplas variáveis. Sua função é, por exemplo, facilitar o cálculo de uma integral que possa vir a ter uma função cujo a primitiva não é conhecida.

O diferencial de comprimento de arco é então dado como:

d s d t = f ' ( t ) 2 + g ' ( t ) 2   ⟹ d s =   f ' ( t ) 2 + g ' ( t ) 2 d t  

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Uma curva tem equação y 2 = x 3 . Encontre o comprimento da curva do ponto 1 , - 1 ao ponto 1,1 .
Calcule o comprimento da curva definida por σ t = t , 1 - t 2 , 1 do ponto 0,1 , 1 ao ponto 1,0 , 1 .
Dois pontos A e B num círculo unitário de centro na origem determinam um setor circular A O B . Mostre que o comprimento do arco A B é duas vezes a área do setor A O B .
Uma curva é a união de duas curvas C 1 e C 2 , onde C 1 é um segmento de reta e C 2 é uma porção de circunferência, conforme a figura 1.16 . Pede-se: b ) Comprimento total de C .
Uma curva é a união de duas curvas C 1 e C 2 , onde C 1 é um segmento de reta e C 2 é uma porção de circunferência, conforme a figura 1.16 . Pede-se: a ) Parametrice as curvas C 1 e C 2 .