Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da seguinte função:

f(x) = e^(1/x)

Passo 1

Vamos procurar as assíntotas horizontais e verticais da função. Pra encontrar as horizontais, é molezinha: vamos fazer o limite da função com x tendendo ao infinito e a menos infinito. O valor que encontrarmos será o y da reta que é a assíntota horizontal. Beleza, vamos começar calculando o limite.

Pro positivo:

lim x → + ∞ ⁡ e 1 x = e 1 ∞ = e 0 = 1

Pro negativo:

lim x → - ∞ ⁡ e 1 x = e 1 - ∞ = e 0 = 1

Beleza, então encontramos a assíntota horizontal:

y = 1

Passo 2

Para a assíntota vertical, a gente vai buscar os valores que levam a função pro infinito, tanto faz se pro lado positivo ou negativo. Pra isso a gente vai catar lá nos valores que a gente vê que tem um comportamento diferente. Bom, nessa questão dá pra ver que tem alguma coisa no x = 0 , né? Vamos calcular os limites nesse x então!

Para x → 0 + :

lim x → 0 + ⁡ e 1 0 + = e + ∞ = + ∞

Para x → 0 - :

lim x → 0 - ⁡ e 1 0 - = e - ∞ = 0

Então, o que nós temos é que, quando x tende a zero pela direita, a função vai para o infinito. Mas quando x tende a zero pela esquerda, a função tende a 0.

Porém, como um dos limites laterais já explodiu para o infinito, já podemos dizer que x = 0 é uma assíntota vertical!

Resposta

As assíntotas são x = 0 e y = 1 .

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