Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim x → 2 ⁡ 5 x - 25 x - 2

Passo 1

Esse é um limite que a gente já viu lá na teoria bem parecido. Ele é dessa forma aqui:

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Passo 2

O nosso limite é esse aqui:

lim x → 2 ⁡ 5 x - 25 x - 2

Bom, é bem parecido com o limite que a gente quer calcular, vamos só multiplicar e dividir por 25 pra ficar no esquema:

lim x → 2 ⁡ 5 x - 25 x - 2 = 25 lim x → 2 ⁡ 5 x 25 - 1 x - 2

Como 25 = 5 2 , pela regra do quociente nas potências, isso vai nos dar:

lim x → 2 ⁡ 5 x - 25 x - 2 = 25 lim x → 2 ⁡ 5 x - 2 - 1 x - 2

Vamos trocar esse x - 2 por y .

lim x → 2 ⁡ 5 x - 25 x - 2 = 25 lim x → 2 ⁡ 5 y - 1 y

Pronto, agora tá no formato! Quando o x tende pra 2 , o y vai tender pro 0 .

lim x → 2 ⁡ 5 x - 25 x - 2 = 25 lim y → 0 ⁡ 5 y - 1 y

Passo 3

Vamos fazer a troca igualzinho ao que ele fez na teoria: chama esse numerador de t .

t = 5 y - 1

5 y = t + 1

Aplicando o l n :

ln ⁡ 5 y = ln ⁡ t + 1

Pela regra do expoente:

y l n 5 = ln ⁡ t + 1

Que fica:

y = ln ⁡ t + 1 ln ⁡ 5

Quando y → 0 , o t também tende pra 0 , e por isso o limite vira:

lim y → 0 ⁡ 5 y - 1 y = 25 lim t → 0 ⁡ t ln ⁡ t + 1 l n 5

Botando o ln ⁡ 5 pra fora:

lim y → 0 ⁡ 5 y - 1 y = 25 ln ⁡ 5 lim t → 0 ⁡ t ln ⁡ t + 1

E esse limite aí dá 1 !

lim y → 0 ⁡ 5 y - 1 y = 25 ln ⁡ 5

Por isso, voltando pra letra original:

lim x → 2 ⁡ 5 x - 25 x - 2 = 25 ln ⁡ 5

Resposta

lim x → 2 ⁡ 5 x - 25 x - 2 = 25 ln ⁡ 5

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