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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 64

Determinar a distância mínima entre o ponto (0, 1) e a curva x 2 = 4 y .

Passo 1

Então galera, neste caso nós temos um problema de aproximação. E a condição será:

s . a .                         x 2 = 4 y

Como nós queremos minimizar a distância vamos usar a fórmula:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Sabendo que ( x 0 , y 0 ) são referentes ao ponto 0 ,   1 . Substituindo:

d = x 2 + y - 1 2

Então, nós teremos o seguinte problema de otimização:

min ⁡                                 x 2 + y - 1 2

s . a .                                                       x 2 = 4 y  

Como a função a ser otimizada é x 2 + y - 1 2 nós podemos adaptar o nosso problema para que ele fique mais simples:

min ⁡                                 x 2 + y - 1 2

s . a .                                                       x 2 = 4 y

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = x 2 + y - 1 2 - λ ( x 2 - 4 y )

Derivando L em relação às variáveis x, y e λ   e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = 2 x - 2 x λ = 0

∂ L ∂ y = 2 y - 1 + 4 λ = 0

∂ L ∂ λ = - ( x 2 - 4 y ) = 0

Para satisfazer as três equações:

x = y = 0

Então a distância mínima será:

d = 0 2 + 0 - 1 2 = 1

Bem legal, não é ?!

Resposta

d = 1

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