Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 17

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimo da função sujeita à(s) restrições dada(s).

f x , y , z = y z + x y   ; x y = 1   ; x 2 + z 2 = 1

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Aqui a gente vai encontrar os valores máximos e mínimos da função:

f x , y , z = y z + x y  

Com as restrições:

x y = 1  

x 2 + z 2 = 1

Como ele nos disse para usar os multiplicadores de Lagrange e temos duas restrições vamos fazer o seguinte:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

Onde g x , y , z = x y - 1 e h x , y , z = x 2 + z 2 - 1 . Veja que teremos que calcular as derivadas parciais das funções, pois os gradientes são dados por:

∇ f = f x , f y ,   f z

As derivadas parciais são calculadas derivando em relação a variável que a gente quer, e considerando todas as outras variáveis como constantes.

Após realizarmos os cálculos do gradiente, teremos então um sistema, desse sistema iremos encontrar os valores de x ,   y ,   z em função de λ e μ , com isso iremos substituir nas equações das restrições e finalmente iremos encontrar os valores numéricos das variáveis.

Com esses pontos iremos substituir na função, o ponto que nos der o maior valor é o ponto de máxima, e o ponto que nos der o menor valor é o ponto de mínimo.

Passo 2

Vamos dar início aos cálculos dos gradientes:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

< f x , f y , f z >   = λ < g x , g y , g z > + µ < h x , h y , h z >

Nossas funções são:

f x , y , z = y z + x y

g x , y , z = x y - 1

h x , y , z = x 2 + z 2 - 1

realizando as derivadas parciais da forma que comentamos no passo 1 :

< y , z + x , y >   = λ < y , x , 0 > + µ < 0,2 y , 2 z >

Devemos satisfazer essa igualdade de vetores, deveremos igualar as coordenadas. Temos o seguinte sistema:

  1. y =   λ y
  2. z + x = λ x + 2 µ y
  3. y = 2 µ z
  4. x y = 1
  5. y 2 + z 2 = 1

De I :

λ = 1

Utilizando esse resultado em I I :

x + z = x + 2 μ y

z = μ 2 y

Agora indo para I I I com esse resultado de z :

y = μ 2 ⋅ μ 2 y

Utilizando o que encontramos na restrição V :

y 1 - 4 μ 2 = 0

Temos então:

μ = ± 1 2

E

z = ± y

Passo 3

Agora a gente encontra os valores de x , y , z por meio das equações de restrições:

y 2 + z 2 = 1

Temos que z = ± y :

y 2 + y 2 = 1

y = ± 1 2

Então z :

z = ± 1 2

Com a segunda restrição encontramos:

x y = 1

± 1 2 x = 1

x = ± 2

E nesse caso:

z = y = ± 1 2

Agora é hora de checar os pontos na função:

f x , y , z = y z + x y  

f 2 , 1 2 , 1 2 = 3 2

f - 2 ,   - 1 2 ,   - 1 2 = - 3 2

f 2 , 1 2 ,   - 1 2 = 1 2

f 2 ,   - 1 2 , 1 2 = - 3 2  

f ± 2 , ± 1 2 , 1 2 = 3 2 é o máximo, e f 2 ,   - 1 2 , 1 2 = - 3 2   é o mínimo.

Resposta

f ± 2 , ± 1 2 , 1 2 = 3 2 é o máximo, e f 2 ,   - 1 2 , 1 2 = - 3 2   é o mínimo.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

14.30. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicadosExercício 42
Determinar a distância mínima entre o ponto (0, 1) e a curva x 2 = 4 y .
Encontrar o ponto da esfera x + y - z = 1 mais próximo do ponto (1, 1, 1).
Achar os valores extremos de z =2 x y sujeitos à condição x + y =2 .
Nos exercícios 57 a 61, determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:61) z = x 2 + y 2 + z 2 ; x + y + z = 9