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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 23

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os quando possível.

23-   z = e x 2 +   y 2

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. Para identificar esses pontos temos que resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z = f(x,y) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   2 x   e x 2 +   y 2

∂ f ∂ y =   2 y   e x 2 +   y 2

Assim,

2 x   e x 2 +   y 2 = 0

2 y   e x 2 +   y 2 = 0

Gente, o e x 2 +   y 2 nunca vai dar zero, logo, para a equação de cima dar zero,

2 x = 0

Ou seja,

x = 0

O mesmo vale para a segunda equação:

2 y = 0

y = 0

Logo, só temos um ponto crítico que é no x = 0 e y =0. ( 0,0)

OKKKKK, mas a questão não para aí. A questão pediu pra gente classificar os pontos críticos.

Passo 3

Para classificarmos os pontos críticos, ou seja, determinar se eles são pontos máximos ou mínimos vamos usar a matriz hessiana:

H   x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , y ) ∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   ( x , y )           ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   ( x , y )           ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )        

H   x , y = ( 2   e x 2 +   y 2 +   4 x 2   e x 2 +   y 2 ) ( 4 x y   e x 2 +   y 2 )           ( 4 x y   e x 2 +   y 2 )         ( 2   e x 2 +   y 2 +   4 y 2   e x 2 +   y 2 )    

H 0 ,   0 =   2 0           0       2        

H 0 ,   0 = 4

Afinal o que isso quer dizer ????

Bom, como H   0,0 > 0 e ∂ 2 f ∂ x 2 0,0 > 0 , então ( 0,0 ) é um ponto de mínimo local de f.

Resposta

(0,0), ponto de mínimo.

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