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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 15

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x ,   y ,   z = x + 2 y

x + y + z = 1 ,     y 2 + z 2 = 4

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

A questão nos dá a função f x ,   y ,   z = x + 2 y e as restrições x + y + z = 1 e y 2 + z 2 = 4 , e em seguida nos pede para determinar o valor máximo e mínimo da função usando multiplicadores de Lagrange!

Mas como fazemos isso?

O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f x , y , z sujeita às restrições g x , y , z = k e h x , y , z = k ' nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z + µ ⋅ ∇ h x , y , z

Onde λ e µ são os nossos multiplicadores de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de x , y ,   z , λ e µ que satisfaçam essa expressão!

Dessa forma, quando tivermos todos os pontos de interesse, o valor máximo e o mínimo serão, respectivamente, os pontos que tiverem maior e menor valor de f ( x , y , z ) !

Passo 2

A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

Onde f x ,   y ,   z = x + 2 y , g ( x ,   y ,   z ) = x + y + z e h x , y , z = y 2 + z 2

Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como

( f x , f y , f z )   = λ ( g x , g y , g z ) + µ ( h x , h y , h z )

Calculando essas derivadas parciais, encontramos

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x + 2 y

f x = 1

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x + 2 y

f y = 2

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x + 2 y

f z = 0

∂ g ∂ x = ∂ ∂ x x + y + z

g x = 1

Analogamente

g y = 1

g z = 1

∂ h ∂ x = ∂ ∂ x y 2 + z 2

h x = 0

∂ h ∂ y = ∂ ∂ y y 2 + z 2

h y = 2 y

∂ h ∂ z = ∂ ∂ z y 2 + z 2

h z = 2 z

De forma que ficamos com o seguinte

( 1 ,   2 ,   0 )   = λ ( 1 ,   1 ,   1 ) + μ ( 0 ,   2 y ,   2 z )

Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações

1 =   λ

2 =   λ + 2 µ y

0 =   λ + 2 µ z

E além disso, considerando as restrições também temos

x + y + z = 1

y 2 + z 2 = 4

Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter os pontos de interesse e avaliar quem são o máximo e o mínimo da função!

Passo 3

Da primeira expressão obtemos

λ = 1

De forma que podemos atualizar nosso sistema para

2 =   1 + 2 µ y

0 =   1 + 2 µ z

x + y + z = 1

y 2 + z 2 = 4

Mas veja que, dessa forma, as expressões 2 =   1 + 2 µ y

E

0 =   1 + 2 µ z

Só serão verdadeiras caso µ , y , z   ≠ 0 !

Além disso, delas obtemos

y = 1 2 μ

E

z = - 1 2 μ

Ou ainda

z = - y

Mas se substituirmos esse valor de z na primeira restrição obtemos

x + y + ( - y ) = 1

x = 1

E se substituirmos na segunda restrição, obtemos

y 2 + z 2 = 4

y 2 + ( - y ) 2 = 4

2 y 2 = 4

y = ± 2

De forma que

z = ∓ 2

Isto é, a equação do método de Lagrange seja verdadeira para os pontos

1 , 2 , - 2

1 , - 2 , 2

Por fim, testando o valor de f nesses pontos temos

f 1 , 2 , - 2 = 1 + 2 2

f 1 , - 2 , 2 = 1 - 2 2

Ou seja, f 1 , 2 , - 2 = 1 + 2 2 é o máximo e f 1 , - 2 , 2 = 1 - 2 2 é o mínimo.

Resposta

f 1 , 2 , - 2 = 1 + 2 2 é o máximo, e f 1 , - 2 , 2 = 1 - 2 2 é o mínimo.

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