Exercícios de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição - Lista de Exercícios Resolvida

Determine o ponto da reta cujo produto das coordenadas seja máximo.

Considere a função

(a) Determine e classifique os pontos críticos de em todo o .

(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre a circunferência:

(c) Determine os valores máximo e mínimo de no disco

e os pontos onde estes valores ocorrem.

Determinar os extremos da função sobre a curva

Considere a função definida por

(a) Determine os pontos críticos de e classifique-os.

(b) Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de no conjunto

Calcule os pontos de máximo e mínimo absolutos de

Na esfera

A temperatura em uma placa de metal é dada por

1. Determine e classifique os pontos críticos de em todo .
2. Determine os pontos onde ocorrem a maior e a menor temperatura na região

Deseja-se construir uma caixa retangular de de volume. O custo do material a ser utilizado é de por para a tampa e para o fundo, por para um par de lados opostos e por para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo.

Ache o volume máximo do paralelepípedo no primeiro octante inscrível no elipsóide

Determine os pontos de máximo e mínimo de

em

Considere a função dada por

para um real fixado.

a) Determine os pontos críticos de e classifique-os, em função do parâmetro .

b) Faça e determine o valor máximo e o valor mínimo de em

Desejamos fabricar um cilindro circular reto de raio e altura . Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, encontre o volume máximo do cilindro quando sua área (incluindo as duas tampas) é de unidades de área.

Dica: Lembre que a área lateral de um cilindro circular reto de raio e altura é , e o volume é .

Calcule, se existirem, o máximo e o mínimo absolutos de

na região

Dada a função

Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de na região

Determine, se existirem, os pontos de máximo e mínimo absolutos de no domínio .

Justifique a existência e determine os pontos de máximo e mínimo de

em

Considere a função dada por

para um real fixado.

a) Determine os pontos críticos de e classifique-os, em função do parâmetro .

b) Faça e determine o valor máximo e o valor mínimo de em

Dada a função ,

1. Classifique os pontos críticos de .
2. Determine os valores de máximo e de mínimo de no compacto

Qual o ponto da parábola que se encontra mais próximo do ponto ?

Determine a equação do plano tangente à superfície , com e maiores do que , que forma um tetraedro mínimo com os planos coordenados.

Dica: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano no primeiro octante é dado por .

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de

no conjunto

Determine, se existirem, os pontos de máximo e mínimo absolutos de

No domínio

Foi construída uma caixa com tampa, na forma de um paralelepípedo e com de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o dobro em relação ao que será utilizado na superfície do fundo. De acordo com sua resolução as dimensões da caixa que minimizam o custo do material são:

; ;

; ;

; ;

; ;

Calcule o valor máximo e o valor mínimo da função

Restrita a porção do plano

Usando obrigatoriamente o método dos multiplicadores de Lagrange.

Deseja-se encontrar os pontos de máximo e mínimo de sobre o conjunto .

1. O problema tem solução? Justifique.
2. Em caso afirmativo, determine tais pontos.
3. A função acima tem ponto de máximo sobre o conjunto ? E de mínimo? Justifique suas respostas.

Considere a função definida por

(a) Determine os pontos críticos de e classifique-os.

(b) Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de no conjunto

Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para determinar os valores extremos da função

Sobre a esfera

E classifique-os como máximo ou mínimo.

Tres números positivos satisfazem a relação

O maior valor possível para o produto é:

1. 4000
2. 5000
3. 2000
4. 1000
5. 1024

Ache o volume máximo do paralelepípedo inscrível no elipsóide

Maximize sujeito a , onde é uma constante real positiva fixa. Qual é o valor máximo da função objetivo no conjunto determinado pela restrição?

Mostre que para todo ocorre

34. Obtenha o ponto da elipse situado no 1° quadrante, no qual a tangente à curva forma com os eixos coordenados o triângulo de menor área possível. Calcule essa área mínima.

23. Encontre os extremantes da função objetivo no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de em .

, sujeito à .

Um disco circular tem a forma da região . Se graus é a temperatura em qualquer ponto do disco e , encontre os pontos mais quentes e mais frios do disco.

Considere a figura abaixo que representa as curvas de nível de uma função com derivadas parciais contínuas e uma restrição . (Circunferência)

a) Marque na figura todos os pontos críticos de .

b) Tendo por base o valor das curvas de nível indicado na figura classifique os pontos críticos em a)

c) Desenhe na figura o vetor gradiente da função no ponto

d) Indique, com um X sobre a figura, os pontos que são solução do seguinte sistema:

e) Olhando para a figura, você consegue concluir onde ocorrem os valores máximo e mínimo da função restrita à circunferência?

Uma empresa de serviço de entrega restringe as dimensões do pacote a caixas retangulares tais que o comprimento mais o dobro da largura mais o dobro da altura não pode exceder 108 centímetros. Quais são as dimensões do pacote com maior volume que a empresa entrega?

Encontre os valores extremos da função na região definida pela desigualdade .

Considere a função

1. Determine e classifique os pontos críticos de em todo
2. Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre a circunferência:
3. Determine os valores máximos e mínimos de no disco e os pontos onde esses valores ocorrem

Considere a função

(a) Determine e classifique os pontos críticos de em todo o .

(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de sobre a circunferência:

(c) Determine os valores máximo e mínimo de no disco

e os pontos onde estes valores ocorrem.

Deseja-se construir uma caixa retangular de de volume. O custo do material a ser utilizado é de por para a tampa e para o fundo, por para um par de lados opostos e por para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo.

Determine os valores máximos e mínimos absolutos da função no conjunto

12 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, da função sujeita aos vínculos e .

Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo da função

Com a restrição

Conclua que

A soma das coordenadas do ponto da superfície

Pertencente ao semiespaço superior e mais próximo da origem é:

Verifique que entre todos os triângulos, aquele cujo produto dos senos de seus ângulos internos é máximo, é o triângulo equilátero.

Lembrete: A soma dos ângulos internos de um triangulo é

Denote por P e Q os pontos do cone mais próximos do ponto .

Assinale a alternativa correta:

Encontre o valor máximo e o valor mínimo da função

Na região

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de na região descrita pela desigualdade

Seja

Seja

Com .

Encontre os valores de máximos e mínimos globais de em .

Considere a função

Definida no conjunto

Assinale a afirmativa correta:

1. em dois pontos de máximo e nenhum ponto de mínimo absoluto em . O valor máximo de em é .
2. em dois pontos de máximo e um ponto de mínimo absoluto em . O valor máximo e mínimo de em são e , respectivamente.
3. em dois pontos de máximo e dois pontos de mínimo absolutos em . O valor máximo e mínimo de em são e , respectivamente.
4. não tem pontos de máximo e mínimo absoluto em
5. Todas as demais alternativas são falsas.

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita a restrição dada:

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar a menor distância entre o ponto e o plano

A soma das coordenadas do ponto da superfície

Pertencente ao semiespaço superior e mais próximo da origem é:

A soma das coordenadas do ponto da superfície

Pertencente ao semiespaço superior e mais próximo da origem é:

Considere

1. Exiba todos os pontos críticos de e explicite o gradiente de .
2. Classifique os pontos críticos de e explicite a matriz hessiana de
3. Seja

Determine o valor máximo e o valor mínimo de restrita à .

4. Seja

Determine o valor máximo global e o valor mínimo global de restrita a . Explicite os pontos onde o máximo e mínimo são assumidos e diga se são pontos do interior ou da fronteira de .

Determine o retângulo de perímetro máximo (com lados paralelos aos eixos coordenados) que pode ser inscrito na elipse de equação

O valor mínimo absoluto da função na região é:

3. Nenhuma das demais alternativas

O plano intercepta o paraboloide em uma elipse. Determine os pontos da elipse que estão mais próximos e mais longe da origem.

Deseja fabricar-se uma caixa de papelão retangular, sem tampa, com volume . Quais as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão a ser utilizado?

80

Seja o gráfico da função

a) Exiba um ponto , ta que o plano tangente à neste ponto é paralelo ao plano dado por

b) Seja

i) Determine os pontos dp traço de onde a reta tangente é vertical, isto é, paralela ao eixo

ii) Exiba a parametrização da curva

tal que o traço de está contigo no gráfico (superfície ) e a projeção ortogonal de no plano é a curva . Explicite e calcula

iii) Escreva o vetor velocidade da curva em e exiba a equação paramétrica da reta tangente à em

Seja e seja a curva

(a) Calcule os valores de máximo e mínimo global de restrita à curva .

(b) Determine em qual(is) ponto(s) de o valor máximo de é atingido e em qual(is) ponto(s) de o valor mínimo de é atingido.

Encontre o máximo global da função

restrita ao elipsoide

Seja uma constante real. Calcule o valor máximo e o valor mínimo da função

na esfera

Seja .

a) Exiba a matriz hessiana de no ponto e a aproximação quadrática de neste ponto.

b) Encontre um aberto tal que a matriz hessiana de em todo ponto seja estritamente positiva definida. Desenhe o aberto e, ao lado, sua fronteira.

c) Encontre um aberto tal que a matriz hessiana de em todo ponto seja indefinida.

d) Classifique os pontos críticos de .

e) Calcule o valor de máximo de restrita à curva

Dica: Considere que

Seja

Seja

Com .

Encontre os valores de máximos e mínimos globais de em .

Quais os valores mínimos e máximos respectivamente de no domínio ?

e ;

e ;

e ;

e ;

e .

A temperatura em uma placa de metal é dada por

1. Determine e classifique os pontos críticos de em todo .
2. Determine os pontos onde ocorrem a maior e a menor temperatura na região

Se é um ponto na esfera de raio

Que maximiza a função

Então o valor de é:

5. Não exite nenhum ponto nas condições descritas acima.

Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos de sangue: , , , e . A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois alelos diferentes é , em que e são as proporções de , e na população. Sabendo que , determine a proporção máxima de indivíduos que carregam dois alelos em uma população.

Determine os pontos da elipse que fornecem o maior valor da função .

4. A temperatura em um ambiente com solo plano não depende da altura. Fixando no solo uma origem, o eixo apontando para leste e o eixo para norte, ela é dada por

1. Use multiplicadores de Lagrange para encontrar dentre os pontos que distam da origem, os de temperatura máximo e mínima?

6. Determinar os pontos de máximos e/ou mínimos da função dada, sujeita às restrições indicadas:

d) ; com a condição de que .

7. Encontre os valores máximo e mínimo da função sujeita a restrição .

Encontre a expressão geral (em termos de todos os parâmetros) do ponto que maximiza a função Cobb-Douglas sujeito a .

Um fio de coprimento deve ser dividido em partes. Determine o comprimento de cada parte de modo que o produto dos comprimentos das partes seja máximo.

A distância entre o ponto e o plano é igual a: