Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.7 - Ex. 6e

Escrever uma equação vetorial para superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados:

x 2 + y 2 + z 2 = 9 ; P 0 3,0 , 0 ; P 1 0,3 , 0 ; P 2 0,0 , 3 ; P 3 1,2 , 2

Passo 1

Olá amiguinhos, primeiro passo que nos é pedido é determinar a equação vetorial da superfície. Podemos resolver esse passo fazendo a parametrização da nossa função e escrevendo que é nosso r → ( u , v ) . Veremos melhor no Passo 2.

Agora se temos o nosso vetor r → ( u , v ) que determina a posição de cada ponto em nossa superfície, então fazendo ∂ r → / ∂ u   = d ( r → u , v 0 ) / d u temos o vetor tangente na direção u e consequentemente ∂ r → / ∂ v   = d ( r → u 0 , v ) / d v o vetor tangente na direção v . Logo esses dois vetores são os vetores que determinam nosso plano tangente, onde para formar um plano, precisamos sempre de um ponto e dois vetores linearmente independente.

x , y , z = P + λ v → + γ u →

Para determinamos a reta normal, precisamos apenas de um ponto e um vetor. O ponto já nos é dado, mas o vetor, a → , podemos determinar fazendo a seguinte relação

a → = ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v

Passo 2

Vamos começar lembrando a parametrização da esfera. Vamos fazer

x = R cos ⁡ u   s e n   v

y = R   s e n   u   s e n   v

z = R cos ⁡ v

Com R = 3 , 0 ≤ u ≤ 2 π , 0 ≤ v ≤ π

Então

r u , v = ( 3 cos ⁡ u   s e n   v , 3   s e n   u   s e n   v ,   3 cos ⁡ v )

Pronto terminamos o primeiro passo xD.

Passo 3

Agora queremos calcular o plano tangente, então primeiro

∂ r ∂ u = ( - 3   s e n   u   s e n   v ,   3 cos ⁡ u   s e n   v ,   0 )

e

∂ r ∂ v = ( 3 cos ⁡ u cos ⁡ v ,   3   s e n   u cos ⁡ v ,   - 3   s e n   v )

Neste ponto o livro pode mostrar formar e formas para resolver nosso problema, mas uma forma simples será escrevemos a equação geral do plano para os pontos dados da seguinte forma

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0   + λ u 1 , u 2 , u 3 + γ ( v 1 , v 2 , v 3 )

Assim temos para P 0 3,0 , 0 → u = 0 e v = π / 2 implicando nos vetores ( 0,3 , 0 ) e 0,0 , - 3

x , y , z = 3,0 , 0 + λ 0,3 , 0 + γ ( 0,0 , - 3 )

Que nos da

x - 3 = 0

Para P 1 0,3 , 0 → u = π / 2 e v = π / 2 implicando nos vetores ( - 3,0 , 0 ) e 0,0 , - 3

x , y , z = 0,3 , 0 + λ - 3,0 , 0 + γ ( 0,0 , - 3 )

Que nos da

y - 3 = 0

Para P 2 0,0 , 3 → u = 0 e v = 0 implicando nos vetores ( 0,0 , 0 ) e 3,0 , 0 . Como neste caso temos um vetor nulo e não podemos usar ele. Vamos tomar um vetor perpendicular ao nosso vetor 3,0 , 0 e que sabemos que é perpendicular a nosso vetor que aponta para o ponto em questão, ou seja 0,3 , 0

x , y , z = 0,0 , 3 + λ 0,3 , 0 + γ ( 3,0 , 0 )

Que nos da

z - 3 = 0

Passo 4

Para calcular o último plano, vamos fazer o seguinte. Seja a parametrização da esfera

r → u , v = ( 3 cos ⁡ u   s e n   v ,   3   s e n   u   s e n   v ,   3 cos ⁡ v )

Calculando os vetores diretores temos

∂ r → ∂ u = - 3   s e n   u   s e n   v ,   3 cos ⁡ u   s e n   v ,   0

E

∂ r → ∂ v = ( 3 cos ⁡ u cos ⁡ v ,   3 sen ⁡ u cos ⁡ v ,   - 3   s e n   v )

No ponto em questão P 3 1,2 , 2 , temos que

3 cos ⁡ u   s e n   v = 1

3   s e n   u   s e n   v = 2

3 cos ⁡ v = 2

Isso implica que

cos ⁡ v = 2 3 ,   s e n   v = 5 3 , cos ⁡ u = 5 5 e s e n   u = 2 5 5

∂ r → ∂ u P 3 = ( - 2,1 , 0 )

∂ r → ∂ v P 3 = 2 5 5 , 4 5 5 , - 5

Que normalizando se dividindo esse último por um fator 5 / 5 , temos

∂ r → ∂ v P 3 = 2,4 , - 5

Agora podemos aplicar que

x , y , z = 1,2 , 2 + λ - 2,1 , 0 + γ ( 2,4 , - 5 )

Onde

x = 1 - 2 λ + 2 γ

y = 2 + λ + 4 γ

z = 2 - 5 γ

Isolando e substituindo chegamos que

x + 2 y + 2 z - 9 = 0

Passo 5

Por fim queremos a reta tangente. Olhando nos passos 3 e 4, perceba que já calculamos os vetores diretores. Assim aqui só iremos fazer o produto vetorial e aplicar na equação da reta.

Para P 0

∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v = d e t i ^ j ^ k ^ 0 3 0 0 0 - 3 = ( - 9,0 , 0 )

Assim para o ponto 3,0 , 0 Teremos

r → T 0 = 3,0 , 0 + t - 9,0 , 0 = ( 3 - 9 t , 0,0 )

Na resposta do livro você irá encontrar 3 + 9 t , mas como se trata de apenas uma reta, não importa o sentido que escrevemos.

Para P 1

∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v = d e t i ^ j ^ k ^ - 3 0 0 0 0 - 3 = ( 0 , - 9,0 )

Assim para o ponto 3,0 , 0 Teremos

r → T 1 = 0,3 , 0 + t 0 , - 9,0 = ( 0,3 - 9 t , 0 )

Para P 2

∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v = d e t i ^ j ^ k ^ 0 3 0 3 0 0 = ( 0,0 , - 9 )

Assim para o ponto 0,0 , 3 Teremos

r → T 2 = 0,0 , 3 + t 0,0 , - 9 = ( 0,0 , 3 - 9 t )

E por fim o ponto P 3 1,2 , 2 os vetores são - 2,1 , 0 e 2,4 , - 5

∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v = d e t i ^ j ^ k ^ - 2 1 0 2 4 - 5 = ( - 5 , - 10 , - 10 )

Como se trata apenas de um vetor diretor, dividimos tudo por 5

Assim temos

r → T 3 = 1,2 , 2 + t - 1 , - 2 , - 2 = 1 - t , 2 - 2 t , 2 - 2 t

E não se preocupe se pegar o livro e ver uma resposta “diferente”. É a mesma coisa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Se você tiver um programa que trace o gráfico de superfícies parametrizadas, use-o para traçar a superfície
Determinar a equação do plano tangente à superfície S dada, no ponto indicado: r → u , v = u i ^ + v j ^ + u 2 + 2 v 2 k ^ ; P ( 0,1 , 2 )
Encontrar a equação de uma reta que passa na origem e é normal à superfície x + 2 y + z = 4
Escrever uma equação vetorial para superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados: x 2 + y 2 = 4 ; P 0 2 , 2 , 2 ; P 1 0,2 , 2