Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.14 - Ex. 36
Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.
Passo 1
Pra começar, a gente chama o limite de . Vamos tentar substituir o valor do no limite pra ver no que dá. Substituindo,
Bom, esse é um limite que a gente claramente não sabe calcular, mas sabemos que quando aparecer expressões com essa cara, o macete é usar o nosso amigo, o número de Neper, . Você pode até olhar e pensar que sabe calcular sim, já que elevado a qualquer coisa é , mas lembra que o valor não é exatamente , ele está se aproximando de lá. É só um limite!
Passo 2
Pega a idéia:
A gente pode reescrever qualquer número assim:
E pela regra do expoente:
Fazendo aqui no limite:
Como a base é constante, o limite só depende do expoente!
Passo 3
Beleza, então vamos calcular esse limite do expoente.
Se a gente substituir direto, vamos achar uma indeterminação . Isso aí tá pedindo L’Hospital! Derivando, sem esquecer da regra da cadeia:
Separando esse limite:
O segundo limite é fácil, porque substituindo o por , vamos ficar com:
E aplicando L’Hospital no primeiro:
Portanto,
Passo 4
Beleza, esse é o limite do expoente. Então o limite todo dá: