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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.14 - Ex. 27

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → 1 ⁡ 1 2 1 - x - 1 3 1 - x 3

Passo 1

Agora vamos substituir x = 1 para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = 1 2 1 - 1 - 1 3 1 - 1 3

Fazendo as contas:

L = ∞ - ∞

Como caímos numa indeterminação, vamos dar uma mexida no nosso limite. A ideia aqui não será muito simples, mas ta vendo o termo 1 - x 3 como temos uma raiz cubica, seria bom se conseguíssemos elevar ao cubo para eliminar a raiz. Para isso, vamos usar a seguinte fatoração:

m 3 - n 3 = m - n m 2 + m n + n 2

Como só temos o termo m - n onde m = 1 e n = x 3 , vamos ter que multiplicar por a 2 + a b + b 2 . E para o termo   1 - x vamos usar a estratégia do conjugado.

Passo 2

Então vamos lá!

L = l i m x → 1 1 2 1 - x × 1 + x 1 + x - 1 3 1 - x 3 × 1 + x 3 + x 2 3 1 + x 3 + x 2 3

Assim,

L = l i m x → 1 1 + x 2 1 - x - 1 + x 3 + x 2 3 3 1 - x

Deixando tudo como mesmo denominador:

L = l i m x → 1 3 1 + x - 2 1 + x 3 + x 2 3 6 1 - x

Fazendo as continhas:

L = l i m x → 1 1 + 3 x - 2 x 3 - 2 x 2 3 6 - 6 x

Agora vamos fazer x = 1 pra ver no que dá:

L = 1 + 3 1 - 2 1 3 - 2 1 3 6 - 6 × 1

Logo,

L = 0 0

Repare que agora caímos numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.

L = l i m x → 1 1 + 3 x 1 2 - 2 x 1 3 - 2 x 2 3 6 - 6 x

Derivando,

L = lim x → 1 ⁡ 1 2 × 3 x - 1 2 + 1 3 × - 2 x - 2 3 + 2 3 × - 2 x - 1 3 - 6

Organizando a expressão:

L = lim x → 1 ⁡ - 1 4 x 1 / 2   - 1 3 x 2 3 - 2 9 x 1 3

Agora é só fazer x = 1 e correr pro abraço!

L = - 1 4 × 1   - 1 9 × 1 - 2 9 × 1

Logo,

L = - 1 4 + 1 3

Portanto,

L = 1 12

Resposta

L = 1 12

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