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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 34a

Determine a área entre a curva y = 1 x e o eixo x de x = 10 até x = 20 é a mesma área entre a curva e o eixo x de x = 1 até x = 2 .

Passo 1

Desejamos mostrar duas que integrais possuem a mesma área. Dessa maneira, se mostrarmos que a diferença entre elas é zero, estaremos mostrando que suas áreas são iguais.

Então vamos lá,

∫ 1 2 1 x   d x - ∫ 10 20 1 x   d x

= ln ⁡ x ​ 1 2 - ​ l n ⁡ | x | 10 20

= [ ln ⁡ 2 - l n | 1 | ] - [ ln ⁡ 20 - l n | 10 | ]

= ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 - ln ⁡ 20 - ln ⁡ 10

= [ ln ⁡ 2 - 0   ] - [ ln ⁡ 2.10 - l n ⁡ ( 10 ) ]

Utilizando o fato que ln ⁡ a . b = ln ⁡ a + ln ⁡ b   teremos,

= [ ln ⁡ 2 - 0   ] - [ ln 2 + ln ⁡ 10 - l n ⁡ ( 10 ) ]

= ln ⁡ 2   - ln ⁡ 2

= 0

Portanto,

∫ 1 2 1 x   d x = ∫ 10 20 1 x   d x

Ou seja, possuem a mesma área.

Resposta

∫ 1 2 1 x   d x - ∫ 10 20 1 x   d x = 0   ⇒ ∫ 1 2 1 x   d x = ∫ 10 20 1 x   d x

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