Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 84
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas nos Exercícios 81-84.
84.
Passo 1
Inicialmente, o que precisamos fazer é plotar esses gráficos para determinarmos as regiões compreendidas entre eles, ok? Se plotarmos os gráficos, teremos:
No qual a função em verde é e a função em azul é . Para o valor dessa área ser possível, teremos que integrar em , galera! Se integrarmos em , o problema ficará muito complicado.
Assim como discutido na seção 6 do George, os intervalos de integração para uma são , que são intervalos verticais (em ), não mais horizontais (em ). Além disso, temos que descobrir os pontos em que as funções se encontram para descobrirmos nosso intervalo de integração, beleza? Sabendo dessas informações, nosso problema fica bem mais tranquilo! Então bora lá!
Passo 2
Igualando as funções para descobrirmos seus pontos de encontro, teremos:
Então pessoal, nem precisamos aplicar bhaskara nessa equação, não é mesmo? É bem tranquilão notarmos que os valores que resolvem essa equação é ! Sendo assim, podemos escrever nossa equação assim:
Passo 3
Para calcularmos a área de uma região em relação à , assim como discutido na seção 6 do George, o que precisamos descobrir é quais são as curvas à direita e à esquerda. Depois de descoberto isso, basta fazermos:
Onde, nesse caso, seria a curva à direita e seria a curva à esquerda.
Se observarmos o gráfico, veremos que a função mais à direita é , enquanto a função mais à esquerda é . Ademais, o intervalo é . Escrevendo nossa integral, teremos:
Para resolvermos essa integral precisaremos utilizar a seguinte regra:
Então: