57- Área de superfície Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva y = raiz(x^2 + 2) , 0 ≤ x ≤ raiz(2) , em torno do eixo x .

Passo 1

A área da superfície pode ser calculada integrando o comprimento do arco da função no intervalo estabelecido.

E ela pode ser calculada da seguinte forma:

S = ∫ 0 2 2 π y 1 + y ' 2 d x

A analogia que se faz é como se integrássemos o comprimento do arco de um circulo para encontrarmos sua área, porém temos um jacobiano que adequa o comprimento para a função desejada.

Fazendo a derivada de y em relacao a x nós temos:

y ' = 1 2 x 2 + 2 - 1 2 × 2 x

O que nos dá:

y ' = x x 2 + 2

Substituindo os valores de y e y ' , nós temos:

S = 2 π ∫ 0 2 x 2 + 2 × 1 + x 2 x 2 + 2

S = 2 π ∫ 0 2 x 2 + 2 × 2 x 2 + 2 x 2 + 2

Cortando x 2 + 2 e colocando 2 do numerador para fora temos:

S = 2 2   π ∫ 0 2 x 2 + 1 d x

Passo 2

Utilizando a fórmula 35 da tabela de integrais com a = 1

Temos a seguinte fórmula:

S = 2 2   π x 2 x 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ x + x 2 + 1 0 2

Passo 3

Substituindo o intervalo nós temos:

S = 2 π 2 3 + ln ⁡ 2 + 3

Resposta

S = 2 π 3 + 2 π l n ⁡ ( 2 + 3 )

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