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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 62

Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Desta forma, se f (x) >= g ( x ) ao longo de um intervalo [a , b] , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = int_a^b [f (x) - g (x)] d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo [a , b] .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f (x) = x^3 // 3 - x e g (x) = x // 3 . Além disto, observe que temos três intervalos com comportamentos distintos das funções. Entre [- 2 , x_0] , f (x) >= g ( x ) , já entre [x_0 , x_f] temos g (x) >= f ( x ) . Por fim, no intervalo [x_f , 3] , voltamos a ter f (x) >= g ( x ) . Desta forma, a área da região em cinza é dada por:

A = int_(- 2)^(x_0) [f (x) - g (x)] d x + int_(x_0)^(x_f) [g (x) - f (x)] d x + int_(x_f)^3 [f (x) - g (x)] d x

E como sabemos que

[f (x) - g (x)] = ((x^3)/(3) - x) - (x)/(3) = (x^3)/(3) - (4 x)/(3)

[g (x) - f (x)] = - (x^3)/(3) + (4 x)/(3)

Temos então

A = int_(- 2)^(x_0) (x^3)/(3) - (4 x)/(3) d x + int_(x_0)^(x_f) - (x^3)/(3) + (4 x)/(3) d x + int_(x_f)^3 (x^3)/(3) - (4 x)/(3) d x

Observe que é necessário separar em uma soma de integrais devido à mudança no comportamento da imagem das funções.

Passo 3

Estamos quase prontos para resolver a integral e a nossa questão. Só temos um leve problema. Afinal, quem é esse x_0 e x_f que aparecem nos limites de integração? Eles são as coordenadas x dos pontos de interseção entre as duas curvas. Portanto, basta igualar as duas funções e resolver a equação. Desta forma, temos:

(x^3)/(3) - x = (x)/(3)

(x^3)/(3) - (4 x)/(3) = 0

(x)/(3) (x^2 - 4) = 0

Resolvendo a equação acima, obtemos x_1 = 0 , x_2 = - 2 e x_3 = 2 . Como x_0 < x_f , sabemos então que x_0 = 0 e x_f = 2 . Portanto, a área é dada por:

A = int_(- 2)^0 (x^3)/(3) - (4 x)/(3) d x + int_0^2 - (x^3)/(3) + (4 x)/(3) d x + int_2^3 (x^3)/(3) - (4 x)/(3) d x

Passo 4

Vamos resolver agora nossa integral.

A = int_(- 2)^0 (x^3)/(3) - (4 x)/(3) d x + int_0^2 - (x^3)/(3) + (4 x)/(3) d x + int_2^3 (x^3)/(3) - (4 x)/(3) d x

A = ([(x^4)/(12) - (2 x^2)/(3)]|_(- 2)^0 + ([- (x^4)/(12) + (2 x^2)/(3)]|_0^2 + ([(x^4)/(12) - (2 x^2)/(3)]|_2^3

A = [(0) - ((16)/(12) - (8)/(3))] + [(- (16)/(12) + (8)/(3)) - (0)] + [((81)/(12) - (18)/(3)) - ((16)/(12) - (8)/(3))]

A = [- (- (16)/(12))] + [((16)/(12)) - (0)] + [((9)/(12)) - (- (16)/(12))]

A = [(16)/(12)] + [((16)/(12))] + [((25)/(12))]

A = (57)/(12) = (19)/(4)

Resposta

A = (19)/(4)

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