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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 34b

Determine a área entre a curva y = 1 x e o eixo x de k a até k b é a mesma área entre a curva e o eixo x de x = a até x = b . ( 0 < a < b , k > 0 ).

Passo 1

Desejamos mostrar duas que integrais possuem a mesma área. Dessa maneira, se mostrarmos que a diferença entre elas é zero, estaremos mostrando que suas áreas são iguais.

Então vamos lá,

∫ a b 1 x   d x - ∫ k a k b 1 x   d x

= ln ⁡ x ​ a b - ​ l n ⁡ | x | k a k b

= [ ln ⁡ b - l n | a | ] - [ ln ⁡ k b - l n | k a | ]

= ln ⁡ b - ln ⁡ a - ln ⁡ k . b - ln ⁡ k a

Utilizando o fato que ln ⁡ a . b = ln ⁡ a + ln ⁡ b   teremos,

= [ ln ⁡ b - ln ⁡ a   ] - [ ln k + ln ⁡ b - ( l n k + ln ⁡ a ) ]

= [ ln ⁡ b - ln ⁡ a   ] - [ ln k + ln ⁡ b - l n k - ln ⁡ a ) ]

= ln ⁡ b - ln ⁡ a   - ln ⁡ b - ln ⁡ a

=   ln ⁡ b - ln ⁡ a - ln ⁡ b + ln ⁡ a

=   0

Portanto,

∫ a b 1 x   d x = ∫ k a k b 1 x   d x

Ou seja, possuem a mesma área.

Resposta

∫ a b 1 x   d x - ∫ k a k b 1 x   d x = 0 ⇒ ∫ a b 1 x   d x = ∫ k a k b 1 x   d x

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