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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 36

Nos Exercícios 35-38, represente graficamente as curvas nos intervalos dados e suas respectivas tangentes para os valores dados de x . Identifique cada curva e tangente com a sua equação respectiva.

36. y = tg ⁡ x ,   - π / 2 < x < π / 2

x = - π / 3 ,   π / 3

Passo 1

Sabemos que o coeficiente angular da reta tangente, a certo ponto de uma função, é numericamente igual a derivada da função nesse ponto.

Então para sabermos a inclinação das retas tangentes ao pontos x = - π / 3 ,   π / 3 vamos calcular a derivada nesses pontos.

y ' x = sec 2 ⁡ x

y ' - π / 3 = 4

y ' π / 3 = 4

A equação da reta é da forma:

y = A x + B

Onde A é sua inclinação ou coeficiente angular, que como já calculamos vale 4 para as duas retas.

Para descobrirmos o valor de B só precisamos colocar uma valor para ( x , y ) que pertença a reta. Como essas retas são tangentes a função y = tg ⁡ x nos pontos x = - π / 3 ,   π / 3 vamos usa-los:

No ponto   x = π / 3 :

y π / 3 = tg ⁡ π / 3 = 3  

Portanto temos o ponto ( π / 3   , 3 ) e A = 4 , calculando B :

3 = 4 π / 3 + B

B = - 4 π 3 + 3

Logo a equação dessa reta é:

y = 4 x - 4 π 3 + 3

No ponto   x = - π / 3 :

y - π / 3 = tg ⁡ - π / 3 = - 3  

Portanto temos o ponto ( - π / 3   , - 3 ) e A = 4 , calculando B :

- 3 = 4 ( - π / 3 ) + B

B = 4 π 3 - 3

Logo a equação dessa reta é:

y = 4 x + 4 π 3 - 3

O gráfico vai ficar dessa forma:

Resposta

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