Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 72
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas nos Exercícios 63-72.
72.
Passo 1
Inicialmente, o que precisamos fazer é plotar esses gráficos para determinarmos as regiões compreendidas entre eles, ok? Se plotarmos os gráficos, teremos:
No qual a função em verde é e a função em azul é . Uma vez plotados, o que precisamos descobrir é a área dessas rachuras aí, certo? Aqui vale notar que o gráfico é simétrico em relação ao eixo , não é mesmo? Guarde essa informação que será muito importante agorinha! Para descobrirmos a área dessas rachuras temos que descobrir os pontos em que as funções se encontram, e é aqui que surge um trabalho mais sério, se liga!
Passo 2
Temos que descobrir os pontos em que as funções se encontram para sabermos quais serão os limites de integração da nossa integral, galera! Para descobrirmos, basta igualarmos as duas funções! No entanto, uma das funções é modular, então essa função admite as seguintes soluções:
Utilizando a primeira restrição, teremos que:
Agora utilizando a segunda restrição, teremos que:
Sendo assim, assim como podemos notar na figura do passo 1, teremos que descobrir o valor de 2 integrais, cujo intervalo de integração para essas integrais acabamos de descobrir!
Passo 3
Para calcularmos a área de uma região, assim como discutido na seção 6 do George, o que precisamos descobrir é quais são as curvas superiores e inferiores. Depois de descoberto isso, basta fazermos:
Onde, nesse caso, seria a curva superior e seria a curva inferior.
No entanto, assim como comentado lá no passo 1, o gráfico dessa função é simétrico, e quando o gráfico é simétrico, podemos escrever o que eram duas integrais, como uma só:
Passo 4
Utilizando o raciocínio do passo anterior, teremos o seguinte:
Para resolvermos essa integral precisaremos utilizar a seguinte regra:
Então: