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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 35

Nos Exercícios 31-40, verifique se o ponto dado faz parte da curva e determine as retas que são (a) tangentes e (b) normais à curva no ponto dado.

35. 6 x 2 + 3 x y + 2 y 2 + 17 y - 6 = 0 ,       ( - 1,0 )

Passo 1

Para verificar se o ponto faz parte da curva só precisamos substituir as coordenadas na função:

6 x 2 + 3 x y + 2 y 2 + 17 y - 6 = 0 ,       ( - 1,0 )

6 ( - 1 ) 2 + 3 ( - 1 ) ( 0 ) + 2 ( 0 ) 2 + 17 ( 0 ) - 6 = 0 ,       ( - 1,0 )

6 + 0 + 0 + 0 - 6 = 0

0 = 0

Portanto o ponto faz parte da curva.

Passo 2

a.

A reta tangente tem como inclinação o valor da derivada naquele ponto.

Derivando implicitamente a função:

Regra do produto:

12 x + 3 y + 3 x y ' + 4 y y ' + 17 y ' + 0 = 0

4 y + 3 x + 17 y ' = - 12 x - 3 y

y ' = - 12 x - 3 y 4 y + 3 x + 17

O coeficiente angular da reta, tangente à função, no ponto - 1,0 , vale:

y ' = - 12 ( - 1 ) - 3 ( 0 ) 4 ( 0 ) + 3 ( - 1 ) + 17

y ' = 12 14

y ' = 6 7

A reta tem sua equação da forma:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 0 = 6 7 x - - 1

y = 6 7 x + 6 7

Passo 3

b.

A linha normal vai ter o mesmo ponto em comum.

Entretanto seu coeficiente angular irá ser oposto e inverso ao coeficiente angular da reta tangente, pois as retas são perpendiculares. Vamos mostrar o porquê disso.

Imagine duas retas r e s perpendiculares:

A tg ⁡ β e a tg ⁡ ( β + 90 ° ) são os coeficientes agulares das retas s e r , respectivamente.

Vamos calcular o valor de tg ⁡ ( β + 90 ° ) usando as fórmulas de adição estudada no Capitulo 1:

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ ( β + 90 º ) cos ⁡ ( β + 90 º )

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ β cos ⁡ 90 ° + sen ⁡ 90 ° cos ⁡ β cos ⁡ β cos ⁡ 90 ° - sen ⁡ β sen ⁡ 90 °

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ β 0 + 1 cos ⁡ β cos ⁡ β 0 - sen ⁡ β 1

tg ⁡ β + 90 ° = cos ⁡ β - sen ⁡ β

tg ⁡ β + 90 ° = - 1 tg ⁡ β

Ou seja:

m r = - 1 m s

Pronto, agora que a gente tem certeza que os coeficientes angulares das retas perpendiculares são opostos e inversos, vamos continuar calculando a equação da reta normal:

y - 0 = - 7 6 x - - 1

y = - 7 6 x - 7 6

Resposta

O ponto faz parte da curva.

a. y = 6 7 x + 6 7

b. y = - 7 6 x - 7 6

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