Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 81
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas nos Exercícios 81-84.
81.
Passo 1
Inicialmente, o que precisamos fazer é plotar esses gráficos para determinarmos as regiões compreendidas entre eles, ok? Se plotarmos os gráficos, teremos:
No qual a função em verde é e a função em azul é . Uma vez plotados, o que precisamos descobrir é a área dessa rachura aí, certo? Para descobrirmos isso, temos que descobrir os pontos em que as funções se encontram, e é aqui que surge um trabalho mais sério, se liga!
Passo 2
Temos que descobrir os pontos em que as funções se encontram para sabermos quais serão os limites de integração da nossa integral, galera! Para descobrirmos, basta igualarmos as duas funções, olha só:
E aí, como descobrimos as raízes dessa função? Então, assim como visto lááá no ensino médio (algo difícil de lembrar mesmo), essa equação se trata de uma biquadrada. Para resolvermos isso aí, utilizamos a substituição . Se utilizarmos essa substituição, teremos:
Descobrindo as raízes dessa função:
Passo 3
Agora que descobrimos as duas raízes de , basta utilizarmos a substituição para descobrirmos as 2 raízes restantes em , se liga:
Para , temos:
Para , temos:
Sendo assim, como dois pontos deram imaginário, os pontos que devemos utilizar são , beleza?
Passo 4
Para calcularmos a área de uma região, assim como discutido na seção 6 do George, o que precisamos descobrir é quais são as curvas superiores e inferiores. Depois de descoberto isso, basta fazermos:
Onde, nesse caso, seria a curva superior e seria a curva inferior.
Se observarmos a figura do passo 1, concluiremos que a curva superior é e a curva inferior é . Ademais, o intervalo é . Escrevendo nossa integral, teremos:
Para resolvermos essa integral, devemos utilizar a regra:
Então: