Determine a área exata da superfície

z = 1 + 2*x + 3*y + 4*y^2, 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

E aê, gente! Belezinha?

Nessa linda questão, precisamos calcular a área exata da superfície dada pela função

z = 1 + 2 x + 3 y + 4 y 2

Onde nos deu os limites de integração:

1 ≤ x ≤ 4   ,     0 ≤ y ≤ 1

Mas se tem limite de integração então tem integral? Mas claro! Precisamos calcular nessa fórmula aqui, ó:

S = ∫ ∫ D   1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Molezinha? 😉

Pessoal, primeiro vamos expressar a área da superfície como uma integral:

A S = ∫ ∫ D   1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ 1 4 ∫ 0 1 1 + 4 + 3 + 8 y 2   d y   d x = ∫ 1 4 ∫ 0 1 14 + 48 y + 64 y 2   d y   d x

Passo 2

Show! Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y , como pede dentro da raiz do integrando.

∂ z ∂ x 1 + 2 x + 3 y + 4 y 2 → 2

∂ z ∂ y 1 + 2 x + 3 y + 4 y 2 → 3 + 8 y

Jogando tudo na fórmula, teremos:

∫ 1 4 ∫ 0 1 1 + 2 2 + 3 + 8 y 2   d y   d x

Organizando, chegaremos a

∫ 1 4 ∫ 0 1 14 + 48 y + 64 y 2   d y   d x

Passo 3

Como a questão indica, se usarmos um sistema de computação algébrica para calcular a integral, vamos obter um resultado exato, assim:

A S = 45 8 14 + 15 16 ln ⁡ 11 5 + 3 14 5 - 15 16 ln ⁡ 3 5 + 14 5

Ou melhor,

A S ≈ 22,1652

Show de bolinha? 😊

Resposta

A S ≈ 22,1652

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