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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 39

Determine a área da superfície.

A parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a área de uma superfície devemos fazer:

A S = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Onde a função z = f ( x , y )   é uma função das variáveis x e y , dentro da região no plano x y .

Aqui a função é:

z = y 2 - x 2

E a região?

Bom, no plano x y , podemos ver que é entre círculos, e em coordenadas polares e cartesianas temos:

x = r c o s θ ,   y = r s e n θ

Então os limites são:

1 ≤ r ≤ 2

E para θ :

0 ≤ θ ≤ 2 π

Então o diferencial de área vai ser r d r d θ e o intervalo:

1 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora temos que calcular os valores de ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

A função z é: z = y 2 - x 2 . As derivadas parciais são:

∂ z ∂ x = - 2 x = - 2 r c o s θ

∂ z ∂ y = 2 r s e n θ

Assim temos:

1 + - 2 r c o s θ 2 + 2 r s e n θ 2   = 1 + 4 r 2  

Passo 3

Agora vamos montar a integral:

∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 1 + 4 r 2 . r d r d θ

A = 1 12 ∫ 0 2 π 1 + 4 r 2 3 / 2 ​ 1 2   d θ = 1 12 ( 17 17 - 5 5 ) ∫ 0 2 π d θ

A = 1 12 17 17 - 5 5 . 2 π = π 17 17 - 5 5 6

Vamos pra próxima?

Resposta

π 17 17 - 5 5 6

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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S S é parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × [ 0,2 ] .
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Calcule a integral de superfície. ∬ y 2 z 2 d S S é a parte do cone y = x 2 + z 2 dado por 0 ≤ y ≤ 5 .
Calcule a integral de superfície. ∬ y d S S é a superfície z = 2 3 x 3 2 + y 3 2 , 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 .