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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 60

Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos.

z = 2 x - y - 5

Passo 1

A reta que queremos descobrir é a reta em vermelho que é a interseção entre os dois planos.

Primeiro iremos encontrar um ponto da reta. Podemos escolher qualquer ponto dela, vamos escolhar o ponto onde a reta intercepta o plano x y colocando z = 0 . Com isso teremos as seguintes equação para os planos dados:

2 x - y = 5   I 4 x + 3 y = 5   I I

I × 3 + I I → 10 x = 20

x = 2

Substituindo esse valor de x nas equações acima chegamos que y = - 1 .

Passo 2

Agora vamos encontrar o vetor normal de cada plano dado

2 x - y - z = 5 → n 1 = 2 , - 1 , - 1 4 x + 3 y - z = 5 → n 2 = 4,3 , - 1

Como esses vetores normais são perpendiculares aos planos acima temos que a reta, que pertence a ambos os planos, é ortogonal aos vetores normais, com isso temos que o produto vetorial entre os vetores normais resulta em um vetor paralelo à essa reta.

v = n 1 × n 2 = i j k 2 - 1 - 1 4 3 - 1 =

= i ∙ - 1 ∙ - 1 + j ∙ - 1 ∙ 4 + k ∙ 3 ∙ 2 - i ∙ 3 ∙ - 1 + j ∙ 2 ∙ - 1 + k ∙ - 1 ∙ 4 =

= i - 4 j + 6 k + 3 i + 2 j + 4 k =

= 4 i - 2 j + 10 k

Passo 3

Com o ponto de intersecção as coordenadas do vetor encontrado achamos o que queríamos.

Equação paramétrica: x - 2 4 = y - - 1 - 2 = z 10

Resposta

Equação paramétrica: x - 2 4 = y - 13 - 2 = z 10

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