Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 77
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada?
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem?
Uma função é dita monotônica se e somente se manter o mesmo sinal para todo . Além disso, a função pode ser crescente se para todo e pode ser decrescente se para todo . Vamos ver o nosso caso aqui.
Para , temos:
Para temos:
Para , temos:
Observando os valores acima, vemos que estão crescendo conforme aumenta o valor de , logo é crescente em . Logo, a sequência é crescente.
Mas o que fazemos com isso? Precisamos definir se ela cresce infeninidamente (ilimitada) ou se tem algum valor limite (limitada). E pra isso serve o limite! Calculando o limite da função, vamos poder verificar seu comportamento no infinito, se encontrarmos um valor finito, dizemos que ela é limitada. Se o limite for indinito, então ela é ilimitada!
Mas relaxa, vou fazer com você!
Passo 2
Vamos verificar agora se essa função é limitada de alguma maneira. Para isso, precisamos calcular o valor do limite da sequência!
Organizando temos
Separando em dois limites:
Aplicando o limite, temos:
E agora?
Passo 3
Caímos numa indeterminação! Para sairmos dela, vamos aplicar a regra de L’Hospital (derivando em cima, embaixo e avaliando novamente o limite):
Derivando temos
Resolvendo o limite:
Portanto, a sequência é limitada em !
Resposta
A sequência é limitada e crescente.