Determine a área da região cortada do primeiro quadrante pela curva

x^(1/2) + y^(1/2) = a^(1/2)

Passo 1

Inicialmente precisamos deixar todas as curvas em relação a uma única variável. Dessa maneira vamos fazer algumas manipulações, ou seja,

x 1 2 + y 1 2 = a 1 2 ⇒ y 1 2 = a 1 2 - x 1 2   ⇒ y 1 2 2 = a 1 2 - x 1 2 2 ⇒ y   = a 1 2 - x 1 2 2

Como não são dados valores exatos para a então não há como expressar o gráfico com exatidão, porém podemos imagino-lo como sendo uma curva acima do eixo x que cruza o primeiro quadrante.Pela definição temos que

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Dessa forma a integral será:

∫ a 1 2 - x 1 2 2 d x

Como não foi definido um intervalo de integração, então teremos uma integral indefinida.

Passo 2

Já que encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar, ou seja,

∫ a 1 2 - x 1 2 2 d x

Desenvolvendo o termo ao quadrado,

= ∫ a 1 2 2 - 2   a 1 2 . x 1 2 + x 1 2 2 d x  

= ∫ a - 2   a 1 2 . x 1 2 + x   d x

Usando o fato de a = a 1 2 ,

= ∫ a - 2   a . x 1 2 + x d x

Usando a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais) e a regra de retirada da constante (integral da constante é a constante vezes a integral).

= a ∫ 1 d x d x - 2 a ∫ x 1 2 d x + ∫ x d x

= a   x - 2 a 2 3 x 3 2 + x 2 2 + C

C tem a função da constante da integral indefinida.

Resposta

∫ a 1 2 - x 1 2 2 d x = a   x - 2 a 2 3 x 3 2 + x 2 2 + C

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