Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 104b
Determine a área da região entre a curva e a reta Em relação a
Passo 1
Inicialmente nosso objetivo é manipular a equação das curvas de maneira que elas dependam da variável Em seguida,ao esboçarmos o gráfico dessas curvas, focaremos no eixo para identificar qual a função que está a frente e qual está atrás. Já que pela definição
Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de frente menos a função de trás
Passo 2
Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,
Onde, pelo que podemos ver há uma região, de até é a função que está por cima , é a função que está por baixo. Sendo que em ambas as regiões a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Sendo assim a integral será:
Cujos limites de integração foram obtidos, a partir de onde uma região inicia, até onde a outra começa e vai até onde a parte hachurada termina.
Passo 3
Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar.
Usando a regra de retirada da constante (integral da constante é a constante vezes a integral).
Utilizando o método de substituição, suponha que então .Além disso quando e quando .
Sendo assim,
Usando a regra de inversão do intervalo de integração
Utilizando o fato de
Utilizando o Teorema Fundamental do Calculo Parte II,
Resposta
área da região entre a curva e a reta Em relação a quando
é igual à
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)