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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 27

Determine a área da região” triangular” no primeiro quadrante , limitada à esquerda por   x + y = 2 , à direita por = x 2   e acima por y = 2

Passo 1

Inicialmente precisamos deixar todas as curvas em relação a uma única variável. Dessa maneira vamos fazer algumas manipulações, ou seja,

x + y = 2 ⇒ y = 2 - x

Em seguida, esboçando o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver temos duas regiões, isto é , de 0 até 1 y   = 2   é a função que está por cima , y = 2 - x . Porém a partir de   1 até 2 , y = 2 é passa a ser a função que está por cima e     y = 2 - x     é a função que está por baixo Sendo que a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Dessa forma a integral será:

∫ 0 1   2 - ( 2 - x ) d x   + ∫ 1 2   2 - x 2 d x  

Cujo intervalo de integração corresponde a cada região determinada.

Passo 3

Já que encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar.

Inicialmente vamos usar a regra da soma (a integral da soma é a soma das integrais)

∫ 0 1   2 - ( 2 - x ) d x   + ∫ 1 2   2 - x 2 d x  

= ∫ 0 1   2 - 2 + x   d x   + ∫ 1 2   2 - x 2 d x  

Usando novamente a regra da soma (a integral da soma é a soma das integrais) a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais)

= ∫ 0 1 0 +   x d x         +       ∫ 1 2   2   d x   - ∫ 1 2   x 2 d x  

= ∫ 0 1   x   d x         +       2 ∫ 1 2   1   d x   - ∫ 1 2   x 2 d x  

= x 2 2 ​ 0 1       +         2 x ​ 0 2 - x 3 3 ​ 1 2

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

= ( 1 ) 2 2 - ( 0 ) 2 2   + 2 2 - 1 - ( 2 ) 3 3 - ( 1 ) 3 3  

= 1 2 - 0 2   + 2 2 - 1 - ( 2 ) 3 3 - 1 3  

= 1 2 - 0   + 2 2 - 1 - ( 2 ) 3 3 - 1 3  

= 1 2   + 2 2 - 2 - ( 2 ) 3 3   + 1 3  

= 4 2 - 3 2 + 1 - ( 2 ) 3 3    

Resposta

Área da região limitada à esquerda por   x + y = 2 , à direita por = x 2   e acima por y = 2 quando 0 ≤ x ≤ 2 é igual à

4 2 - 3 2 + 1 - ( 2 ) 3 3     .

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Ache a área da região limitada pela curva y = x 2 - 9 x 2 pelo eixo x e pela reta x = 5 .
Use integração para obter π r 2 unidades de área para a área da região cercada por uma circunferência com r unidades de raio.
Ache o centróide da região limitada pela curva y x 2 = x 2 - 9 pelo eixo x e pela reta x = 5 .
2. ache o centro de massa das quatro partículas tendo massas de 2, 3, 3 e 4 kg e localizadas nos pontos (-1,-2), (1,3), (0,5) e (2,1), respectivamente.
Ache o centro de massa de três partículas tendo massas de 1,2 e 3kg e localizados nos pontos (-1,3), (2,1) e (3,-1), respectivamente.