Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 22
Determine a área das regiões delimitadas pelas curvas e retas
Passo 1
Inicialmente precisamos deixar todas as curvas em relação a uma única variável. Dessa maneira vamos fazer algumas manipulações, ou seja,
Em seguida, esboçando o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição
Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima menos a função de baixo
Passo 2
Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,
Onde, pelo que podemos ver temos duas regiões, isto é , de até é a função que está por cima , . Porém a partir de até , é passa a ser a função que está por cima eé a função que está por baixo. Sendo que a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Dessa forma a integral será:
Cujo intervalo de integração corresponde a cada região determinada.
Passo 3
Já que encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar, ou seja,
Usando a regra da soma (a integral da soma é a soma das integrais) a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais)
Utilizando o método da substituição, suponha que então .Além disso quando , quando e quando .
Usando o fato de
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,
Resposta
Área da região entre , e, quando é igual à